Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty n!(n+2)!

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^infty n!(n+2)! é convergente ou divergente. O conteúdo principal envolve manipulação de fatoriais e reconhecimento de série telescópica.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando propriedade de fatoriais: (n+2)!=(n+2)(n+1)n!Logo,
n!(n+2)!=n!(n+2)(n+1)n!=1(n+1)(n+2)

Passo 3

Em seguida, usamos frações parciais para reescrever 1(n+1)(n+2) de modo telescópico:
1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2

Passo 4

Agora calculamos a soma parcial até N:
SN=sumn=1^Nl(1n+1-1n+2r)=(12-13)+(13-14)+cdots+(1N+1-1N+2)=12-1N+2

Passo 5

Para concluir, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=12-0=12

Passo 6

Como o limite da soma parcial é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e seu valor é 12.

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