Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n(1+4^n1+3^n)

Passo 1

Enunciado: temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n1+4^n1+3^n. O conteúdo envolve séries de sinais alternados e, neste caso, vamos precisar do teste do termo geral para verificar a condição necessária de convergência.

Passo 2

O termo geral da série é an=(-1)^n1+4^n1+3^n. Para aplicar o teste do termo geral, analisamos o módulo:
|an|=1+4^n1+3^n
Calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty1+4^n1+3^n =limntoinfty4^nl(1+4^-nr)3^nl(1+3^-nr) =limntoinftygl(43gr)^nnrightarrowinfty

Passo 3

Pela condição necessária de convergência de séries, o termo geral an deve tender a zero. Aqui, |an| cresce sem limite, logo an não tende a zero. Dessa forma, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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