Nas seguintes funções, encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente; em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houver, informando onde ela os assume.
h(x)=x^2 ln x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=x^2ln x
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos extremos locais. Para isso, vamos usar derivadas para estudar monotonicidade e encontrar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio natural da função: como há ln x, vale
x>0
Em seguida, calculamos a derivada usando regra do produto:
h'(x)=ddxl(x^2r)ln x + x^2ddx(ln x) =2xln x + x^2cdot1x =2xln x + x
Fatorando, obtemos
h'(x)=x,(2ln x + 1)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
h'(x)=0 Longrightarrow x,(2ln x +1)=0
Como x=0 não pertence ao domínio, ficamos com
2ln x +1=0 Longrightarrow ln x=-tfrac12 Longrightarrow x=e^-tfrac12

Passo 4

Estudamos o sinal de h'(x)=x(2ln x+1) em cada intervalo do domínio:
  • Para 0<x<e^-tfrac12, temos ln x<-tfrac12, logo 2ln x+1<0 e, como x>0, dá h'(x)<0. A função é decrescente nesse intervalo.
  • Para x>e^-tfrac12, temos ln x>-tfrac12, logo 2ln x+1>0 e x>0 implica h'(x)>0. A função é crescente nesse intervalo.

Passo 5

Como h'(x) passa de negativo para positivo em x=e^-tfrac12, há um mínimo local aí. Calculamos
hl(e^-tfrac12r) =l(e^-tfrac12r)^2lnl(e^-tfrac12r) =e^-1cdotl(-tfrac12r) =-12e

Resposta

A função é
decrescente em (0,e^-tfrac12),
crescente em (e^-tfrac12,infty).
Apresenta um mínimo local de valor -tfrac12e em x=e^-tfrac12.

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