Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, pela região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região é girada em torno do eixo dos
. A região é limitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma hipérbole que se aproxima dos eixos conforme
aumenta. As linhas
(o eixo
),
e
delimitam a região verticalmente entre esses valores de
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo dos
, o método das cascas cilíndricas é uma boa escolha. Esse método envolve integrar a área das cascas cilíndricas resultantes da rotação. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a distância do elemento de área até o eixo de rotação, -
é a altura da casca em função de , -
e são os limites de integração.
Passo 4
Vamos identificar
e
no nosso caso. Aqui,
é a distância até o eixo
, e a altura
da casca é a diferença entre
e
, que simplesmente é
.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A região está entre
e
. Então,
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Sabemos que:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 10
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.