Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, pela região delimitada pelos gráficos de x=1y, x=0, y= 14 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região é girada em torno do eixo dos y . A região é limitada pelas curvas x = 1y , x = 0 , y = 14 e y = 4 . Para isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva x = 1y é uma hipérbole que se aproxima dos eixos conforme y aumenta. As linhas x = 0 (o eixo y ), y = 14 e y = 4 delimitam a região verticalmente entre esses valores de y .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo dos y , o método das cascas cilíndricas é uma boa escolha. Esse método envolve integrar a área das cascas cilíndricas resultantes da rotação. A fórmula para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(y) , dy
Onde:
  • x é a distância do elemento de área até o eixo de rotação,
  • h(y) é a altura da casca em função de y ,
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Vamos identificar x e h(y) no nosso caso. Aqui, x = 1y é a distância até o eixo y , e a altura h(y) da casca é a diferença entre x = 1y e x = 0 , que simplesmente é 1y .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A região está entre y = 14 e y = 4 . Então, a = 14 e b = 4 .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
V = 2pi integral14^4 ( 1y ) cdot ( 1y ) , dy = 2pi integral14^4 1y^2 , dy

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral integral 1y^2 , dy . Sabemos que:
integral y^-2 , dy = -y^-1 + C = -1y + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
V = 2pi [ -1y ]14^4 = 2pi ( -14 - ( -114 ) ) = 2pi ( -14 + 4 )

Passo 9

Simplificando dentro dos parênteses:
-14 + 4 = -1 + 164 = 154

Passo 10

Multiplicando por 2pi :
V = 2pi cdot 154 = 30pi4 = 15pi2

Resposta

O volume do sólido de revolução é 15pi2 unidades cúbicas.

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