Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades
e
. A função de custo total é dada por
.
Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
Passo 1
O enunciado dá a função de custo total
e impõe que o total de máquinas seja
. As perguntas são:
- Encontrar quantas máquinas do tipo 1 (quantidade
) e do tipo 2 (quantidade ) devem ser produzidas para minimizar o custo, sujeitas à restrição de que o total é .
Informações relevantes fornecidas:
- A função objetivo é
. - A restrição é
. - Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito que
e precisam ser inteiros, então por enquanto tratamos e como números reais).
Passo 2
Qual método usar? Existem várias formas de resolver um problema de minimizar uma função com uma restrição linear: (i) substituir a restrição e reduzir para uma variável; (ii) usar multiplicadores de Lagrange. Vou usar a substituição porque é mais direto e envolve apenas álgebra e cálculo de uma função de uma variável — é a forma mais básica e rápida numa prova quando a restrição é simples como
. Vou explicar cada passo com calma para você entender como aplicar isso na hora da prova.
Passo 3
A partir da restrição
isolamos
:
Esse é o passo chave da substituição: expressamos uma variável em função da outra e colocamos isso na função objetivo para obter uma função de uma só variável.
Passo 4
Substituímos
em
. Primeiro escrevo a substituição:
Agora expandimos passo a passo. Começo calculando
:
Multiplicando por
:
Agora o termo
:
Somando todos os termos, mais
, temos:
Agrupando termos semelhantes (constantes, termos em
e termos em
):
Portanto reduzimos o problema para minimizar a função de uma variável
Passo 5
Agora vamos minimizar a função quadrática
. Há duas maneiras equivalentes e simples de achar o ponto mínimo de uma parábola que abre para cima:
- Usar a fórmula do vértice da parábola: se
, o do vértice é . - Ou calcular a derivada
, igualar a zero e verificar que para garantir mínimo.
Vou fazer as duas rapidamente (ambas são úteis na prova).
Usando derivada:
Igualando a zero para pontos críticos:
Verificação de mínimo: a segunda derivada é
como
, a função é convexa e o ponto crítico
é realmente um mínimo.
Usando a fórmula do vértice como checagem: aqui
e
, então
mesmo resultado.
Passo 6
Tendo
, usamos a restrição para encontrar
:
Portanto a produção que minimiza o custo é
máquinas do tipo 1 e
máquinas do tipo 2. Dá para terminar com uma checagem rápida: como a matriz associada à forma quadrática é positiva definida (coeficientes levam a convexidade), esse mínimo é global — mas na prova normalmente basta mostrar
depois da redução.