Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades x e y. A função de custo total é dada por f(x, y)=3 y^{2}-2 x y+4 x^{2}.
Para minimizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total f(x,y)=3y^{2}-2xy+4x^{2} e impõe que o total de máquinas seja 18. As perguntas são:
  • Encontrar quantas máquinas do tipo 1 (quantidade x) e do tipo 2 (quantidade y) devem ser produzidas para minimizar o custo, sujeitas à restrição de que o total é 18.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo é f(x,y)=3y^{2}-2xy+4x^{2}.
  • A restrição é x+y=18.
  • Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito que x e y precisam ser inteiros, então por enquanto tratamos x e y como números reais).

Passo 2

Qual método usar? Existem várias formas de resolver um problema de minimizar uma função com uma restrição linear: (i) substituir a restrição e reduzir para uma variável; (ii) usar multiplicadores de Lagrange. Vou usar a substituição porque é mais direto e envolve apenas álgebra e cálculo de uma função de uma variável — é a forma mais básica e rápida numa prova quando a restrição é simples como x+y=18. Vou explicar cada passo com calma para você entender como aplicar isso na hora da prova.

Passo 3

A partir da restrição x+y=18 isolamos y:
y=18-x.
Esse é o passo chave da substituição: expressamos uma variável em função da outra e colocamos isso na função objetivo para obter uma função de uma só variável.

Passo 4

Substituímos y=18-x em f(x,y). Primeiro escrevo a substituição:
f(x,18-x)=3(18-x)^{2}-2x(18-x)+4x^{2}.
Agora expandimos passo a passo. Começo calculando (18-x)^{2}:
(18-x)^{2}=18^{2}-2\cdot18\cdot x + x^{2}=324-36x+x^{2}.
Multiplicando por 3:
3(18-x)^{2}=3(324-36x+x^{2})=972-108x+3x^{2}.
Agora o termo -2x(18-x):
-2x(18-x)=-36x+2x^{2}.
Somando todos os termos, mais 4x^{2}, temos:
f(x)=972-108x+3x^{2}-36x+2x^{2}+4x^{2}.
Agrupando termos semelhantes (constantes, termos em x e termos em x^{2}):
f(x)=972-(108x+36x)+(3x^{2}+2x^{2}+4x^{2})=972-144x+9x^{2}.
Portanto reduzimos o problema para minimizar a função de uma variável
f(x)=9x^{2}-144x+972.

Passo 5

Agora vamos minimizar a função quadrática f(x)=9x^{2}-144x+972. Há duas maneiras equivalentes e simples de achar o ponto mínimo de uma parábola que abre para cima:
  • Usar a fórmula do vértice da parábola: se f(x)=ax^{2}+bx+c, o x do vértice é x=-\dfrac{b}{2a}.
  • Ou calcular a derivada f'(x), igualar a zero e verificar que f''(x)>0 para garantir mínimo.
Vou fazer as duas rapidamente (ambas são úteis na prova).
Usando derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(9x^{2}-144x+972\bigr)=18x-144.
Igualando a zero para pontos críticos:
18x-144=0 \quad\Rightarrow\quad 18x=144 \quad\Rightarrow\quad x=8.
Verificação de mínimo: a segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}(18x-144)=18,
como f''(x)=18>0, a função é convexa e o ponto crítico x=8 é realmente um mínimo.
Usando a fórmula do vértice como checagem: aqui a=9 e b=-144, então
x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-144}{2\cdot 9}=\dfrac{144}{18}=8,
mesmo resultado.

Passo 6

Tendo x=8, usamos a restrição para encontrar y:
y=18-x=18-8=10.
Portanto a produção que minimiza o custo é x=8 máquinas do tipo 1 e y=10 máquinas do tipo 2. Dá para terminar com uma checagem rápida: como a matriz associada à forma quadrática é positiva definida (coeficientes levam a convexidade), esse mínimo é global — mas na prova normalmente basta mostrar f''(x)>0 depois da redução.

Resposta

x=8
y=10

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