Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades x e y. A função de custo total é dada por f(x, y)=3 y^{2}-2 x y+4 x^{2}.
Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total \;f(x,y)=3y^{2}-2xy+4x^{2}\; e impõe que o total de máquinas seja \;x+y=18\;.
A pergunta é: para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo ( x e y) devem ser produzidas?
Informações relevantes listadas:
  • Função custo: \;f(x,y)=3y^{2}-2xy+4x^{2}\;.
  • Restrição: \;x+y=18\;.
  • Interpretação natural: x e y representam quantidades de máquinas, então assumimos 0\le x\le18 e 0\le y\le18 (ou seja, valores reais não negativos).

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e amistosa): uma forma bem direta e básica é usar a restrição para eliminar uma variável e transformar o problema em função de uma única variável. Isso evita fórmulas mais avançadas e é o jeito que funciona fácil na prova. Vamos substituir \;y=18-x\; e estudar a função resultante de uma variável.

Passo 3

Substituímos \;y=18-x\; em f e obtemos uma função de x apenas. Definimos \;g(x)=f(x,18-x)\; e calculamos passo a passo:
g(x)=3(18-x)^{2}-2x(18-x)+4x^{2}.
Agora expandimos termo a termo:
(18-x)^{2}=324-36x+x^{2},
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3(18-x)^{2}=3(324-36x+x^{2})=972-108x+3x^{2}.
Também
-2x(18-x)=-36x+2x^{2}.
Somando tudo com 4x^{2}:
g(x)=\bigl(3x^{2}+2x^{2}+4x^{2}\bigr)+(-108x-36x)+972.
Portanto,
g(x)=9x^{2}-144x+972.

Passo 4

Para encontrar extremos de g no intervalo [0,18] (porque x deve ficar entre 0 e 18), calculamos a derivada e procuramos pontos críticos:
g'(x)=18x-144.
Igualando a zero:
18x-144=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{144}{18}=8.
Calculamos a segunda derivada para classificar esse ponto:
g''(x)=18>0,
o que indica que x=8 é um ponto de mínimo (curva abre para cima). Então esse ponto não é o máximo — é o mínimo no intervalo. Logo o máximo, em uma função quadrática que abre para cima, ocorrerá nas extremidades do intervalo [0,18].

Passo 5

Avaliamos g nos extremos e também no ponto crítico para comparação (faça as contas devagar como na prova):
  • Em x=0 (isto é y=18):
g(0)=9\cdot0^{2}-144\cdot0+972=972.
  • Em x=18 (isto é y=0):
g(18)=9\cdot18^{2}-144\cdot18+972.
Calcule 18^{2}=324. Então
g(18)=9\cdot324-144\cdot18+972.
Calcule passo a passo: 9\cdot324=2916. 144\cdot18=2592. Assim
g(18)=2916-2592+972=1296.
  • No ponto crítico x=8 (isto é y=10):
g(8)=9\cdot8^{2}-144\cdot8+972.
Calcule 8^{2}=64, 9\cdot64=576, 144\cdot8=1152. Então
g(8)=576-1152+972=396.

Passo 6

Comparando os valores encontrados: \;g(8)=396 (mínimo), \;g(0)=972 e \;g(18)=1296. O maior valor é \;1296 em x=18, y=0. Portanto o custo é maximizado produzindo só máquinas do tipo x.
Intuição rápida: a função quadrática tem coeficiente mais forte para x^{2} (coeficiente 4 na forma original) e a interação -2xy não compensa, então concentrar a produção em x dá custo maior.

Passo 7

Conclusão prática e encorajamento: para obter o maior custo possível com o total fixo de 18 máquinas, produza todas como tipo x e nenhuma como tipo y. Bom trabalho — você conseguiu analisar a função, reduzir para uma variável, comparar extremos e chegar na resposta com contas à mão!

Resposta

x=18,\;y=0

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