Uma fábrica manufatura dois tipos de máquinas em quantidades
e
. A função de custo total é dada por
.
Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
Para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas se deve haver um total de 18 máquinas?
Passo 1
O enunciado dá a função de custo total
e impõe que o total de máquinas seja
.
A pergunta é: para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo ( e
) devem ser produzidas?
Informações relevantes listadas:
A pergunta é: para maximizar o custo, quantas máquinas de cada tipo (
Informações relevantes listadas:
- Função custo:
. - Restrição:
. - Interpretação natural:
e representam quantidades de máquinas, então assumimos e (ou seja, valores reais não negativos).
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e amistosa): uma forma bem direta e básica é usar a restrição para eliminar uma variável e transformar o problema em função de uma única variável. Isso evita fórmulas mais avançadas e é o jeito que funciona fácil na prova. Vamos substituir
e estudar a função resultante de uma variável.
Passo 3
Substituímos
em
e obtemos uma função de
apenas. Definimos
e calculamos passo a passo:
Agora expandimos termo a termo:
logo
Também
Somando tudo com
:
Portanto,
Passo 4
Para encontrar extremos de
no intervalo
(porque
deve ficar entre
e
), calculamos a derivada e procuramos pontos críticos:
Igualando a zero:
Calculamos a segunda derivada para classificar esse ponto:
o que indica que
é um ponto de mínimo (curva abre para cima). Então esse ponto não é o máximo — é o mínimo no intervalo. Logo o máximo, em uma função quadrática que abre para cima, ocorrerá nas extremidades do intervalo
.
Passo 5
Avaliamos
nos extremos e também no ponto crítico para comparação (faça as contas devagar como na prova):
- Em
(isto é ):
- Em
(isto é ):
Calcule
. Então
Calcule passo a passo:
.
. Assim
- No ponto crítico
(isto é ):
Calcule
,
,
. Então
Passo 6
Comparando os valores encontrados:
(mínimo),
e
. O maior valor é
em
,
. Portanto o custo é maximizado produzindo só máquinas do tipo
.
Intuição rápida: a função quadrática tem coeficiente mais forte para
(coeficiente
na forma original) e a interação
não compensa, então concentrar a produção em
dá custo maior.
Passo 7
Conclusão prática e encorajamento: para obter o maior custo possível com o total fixo de 18 máquinas, produza todas como tipo
e nenhuma como tipo
. Bom trabalho — você conseguiu analisar a função, reduzir para uma variável, comparar extremos e chegar na resposta com contas à mão!