Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com
e
.
O conteúdo é resolução de EDO por separação de variáveis, seguida de aplicação de frações parciais para integrar.
O conteúdo é resolução de EDO por separação de variáveis, seguida de aplicação de frações parciais para integrar.
Passo 2
Separamos variáveis escrevendo
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Multiplicando por
obtém-se
logo
e
.
Passo 3
Integrando em
:
Fazendo
no segundo termo dá
Multiplicando por
e reagrupando,
Passo 4
Exponentiando e impondo
resulta
e elevando ao quadrado e isolando
obtemos
Como
, ficamos com
Passo 5
A solução fica bem definida sempre que o denominador
for positivo.
- Se
, então e o denominador é para todo , logo domínio é . - Se
, então e existe um ponto
em que o denominador zera; para manter positividade é preciso
.
Resposta
Domínio:
- Se
, então . - Se
, então .