Resolva os problemas de valores iniciais propostos e, na medida do possível, encontre os domínios das soluções obtidas.
y^prime=varepsilon y-sigma y^3, y(0)=1 onde varepsilon e sigma são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = varepsilon,y - sigma,y^3, y(0)=1,
com varepsilon>0 e sigma>0.
O conteúdo é resolução de EDO por separação de variáveis, seguida de aplicação de frações parciais para integrar.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dydt = y,(varepsilon - sigma,y^2) Longrightarrow dyy,(varepsilon - sigma,y^2) = dt
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
1y,(varepsilon - sigma y^2) = Ay + B,yvarepsilon - sigma y^2
Multiplicando por y(varepsilon - sigma y^2) obtém-se
1 = Al(varepsilon - sigma y^2r) + B,y^2,
logo A = 1/varepsilon e B=sigma/varepsilon.

Passo 3

Integrando em y:
integraldyy,(varepsilon - sigma y^2) = 1varepsilonintegraldyy + sigmavarepsilonintegraly,dyvarepsilon - sigma y^2
Fazendo u=varepsilon - sigma y^2 no segundo termo dá
1varepsilonln|y| ;-;12varepsilonln|varepsilon - sigma y^2| = t + C
Multiplicando por varepsilon e reagrupando,
ln!l(yraizvarepsilon - sigma y^2r) = varepsilon,t + C1

Passo 4

Exponentiando e impondo y(0)=1 resulta
yraizvarepsilon - sigma y^2 = e^varepsilon traizvarepsilon - sigma,
e elevando ao quadrado e isolando y^2 obtemos
y^2(t) = varepsilon,e^2varepsilon tvarepsilon + sigma,(e^2varepsilon t-1) ;=; varepsilonsigma + (varepsilon-sigma)e^-2varepsilon t
Como y(0)=1>0, ficamos com
y(t) = raizvarepsilonsigma + (varepsilon-sigma)e^-2varepsilon t

Passo 5

A solução fica bem definida sempre que o denominador
sigma + (varepsilon-sigma)e^-2varepsilon t for positivo.
  • Se varepsilon>=sigma, então varepsilon-sigma>=0 e o denominador é >=sigma>0 para todo t, logo domínio é R.
  • Se varepsilon<sigma, então varepsilon-sigma<0 e existe um ponto
t0 = 12varepsilonln!l(sigma-varepsilonsigmar)
em que o denominador zera; para manter positividade é preciso t>t0.

Resposta

boxed y(t) = raizvarepsilonsigma + (varepsilon-sigma)e^-2varepsilon t
Domínio:
  • Se varepsilon>=sigma, então tin R.
  • Se varepsilon<sigma, então t> tfrac12varepsilonln!l(tfracsigma-varepsilonsigmar).

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