Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular a taxa de variação de
em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
e
são tratados como constantes porque estamos diferenciando em relação a
. A função
é
, então a derivada de
em relação a
é
.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Nesta situação,
,
e
são constantes. A função
é
. A derivada de
em relação a
é 1.
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
,
e
são considerados constantes. A função
tem
, então precisamos usar a regra da cadeia para derivar isso.
A derivada de
em relação a
é
, onde
. A derivada de
em relação a
é
.
Portanto:
Passo 5
Por último, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
e
são constantes. A função
é
. Para derivar em relação a
, usamos novamente a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, onde
. A derivada de
em relação a
é
.
Assim, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: