Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo:
h(x, y, z, t) = x^2 * y * cos(z / t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular a taxa de variação de em relação a cada uma das variáveis , , e , mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, e são tratados como constantes porque estamos diferenciando em relação a . A função é , então a derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Nesta situação, , e são constantes. A função é . A derivada de em relação a é 1.
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, , e são considerados constantes. A função tem , então precisamos usar a regra da cadeia para derivar isso.
A derivada de em relação a é , onde . A derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Aqui, e são constantes. A função é . Para derivar em relação a , usamos novamente a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é , onde . A derivada de em relação a é .
Assim, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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