Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é um limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O conteúdo envolve limites em funções multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado:
Queremos ver se esse limite existe e, se sim, qual é o valor. Para funções de duas variáveis, o limite existe se o resultado for o mesmo independente do caminho que a gente escolher para chegar a
.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
. Nesse caso, substituímos
por 0 na função:
Então, ao aproximar-se de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
. Substituindo
por 0 na função:
Portanto, ao se aproximar pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo
na expressão:
Aqui, o limite depende do valor de
. Isso significa que dependendo do caminho escolhido (valor de
), o limite pode ser diferente.
Passo 6
Como encontramos diferentes valores para o limite ao escolher diferentes caminhos (por exemplo, 0 nos eixos e
para
), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe porque depende do caminho escolhido para
se aproximar de
.