Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é um limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . O conteúdo envolve limites em funções multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado:
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^8
Queremos ver se esse limite existe e, se sim, qual é o valor. Para funções de duas variáveis, o limite existe se o resultado for o mesmo independente do caminho que a gente escolher para chegar a .

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo 0 cdot y^40^2+y^8 = 0y^8 = 0 . Nesse caso, substituímos por 0 na função:
Então, ao aproximar-se de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo x cdot 0^4x^2+0^8 = 0x^2 = 0 . Substituindo por 0 na função:
Portanto, ao se aproximar pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 5

Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, x cdot (k cdot x^1/4)^4x^2 + (k cdot x^1/4)^8 = x cdot k^4 xx^2 + k^8 x^2 = k^4 x^2x^2(1 + k^8) = k^41 + k^8 , onde é uma constante. Substituindo na expressão:
Aqui, o limite depende do valor de . Isso significa que dependendo do caminho escolhido (valor de ), o limite pode ser diferente.

Passo 6

Como encontramos diferentes valores para o limite ao escolher diferentes caminhos (por exemplo, 0 nos eixos e para ), isso indica que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Exercícios relacionados