Mostre que a sequência
é limitada, mas não é convergente.
10. Considere a sequência
a) Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.
10. Considere a sequência
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
Queremos verificar que essa sequência é crescente e que não ultrapassa o valor 2. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências monótonas e limites superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior:
.
Observe que cada termo é construído a partir do anterior multiplicando por 2 e tirando a raiz quadrada. Vamos assumir que isso realmente aumenta o valor da sequência.
Passo 3
Para provar que a sequência é crescente, vamos usar o princípio matemático da indução.
Base da indução: Para
,
e
Claramente,
.
Passo indutivo: Suponha que
para algum
. Queremos mostrar que
.
Calculando:
Como
e multiplicando por 2 dentro da raiz, temos que
.
Portanto, por indução, a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 2. Isso significa que todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2.
Vamos também usar o princípio da indução para isso.
Base da indução: Para
,
Passo indutivo: Suponha que
para algum
. Queremos mostrar que
.
Calculando:
Como
,
e então,
Portanto, por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2.
Resposta
Concluímos que a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2.