Mostre que a sequência a_n = sen(n pi / 2) + cos(n pi), n in N é limitada, mas não é convergente.
10. Considere a sequência
a1 = raiz(2) a2 = raiz(2 raiz(2)) a3 = raiz(2 raiz(2 raiz(2))) ... = ...
a) Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida da seguinte forma:
Queremos verificar que essa sequência é crescente e que não ultrapassa o valor 2. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências monótonas e limites superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior: .
Observe que cada termo é construído a partir do anterior multiplicando por 2 e tirando a raiz quadrada. Vamos assumir que isso realmente aumenta o valor da sequência.

Passo 3

Para provar que a sequência é crescente, vamos usar o princípio matemático da indução.
Base da indução: Para ,
e
Claramente, .
Passo indutivo: Suponha que para algum . Queremos mostrar que .
Calculando:
Como e multiplicando por 2 dentro da raiz, temos que .
Portanto, por indução, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 2. Isso significa que todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2.
Vamos também usar o princípio da indução para isso.
Base da indução: Para ,
Passo indutivo: Suponha que para algum . Queremos mostrar que .
Calculando:
Como ,
e então,
Portanto, por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2.

Resposta

Concluímos que a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2.

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