Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo:
varnothing(x, y, z, t) = (alpha * x + beta * y^2) / (y * z + delta * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que fazem parte do cálculo diferencial multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Como aparece apenas no numerador, a derivada será:
Isso porque a derivada de em relação a é , e as outras partes são tratadas como constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador dependem de , então precisamos usar a regra do quociente:
Calculando as derivadas separadamente:
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida para :
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo os termos:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Aqui, aparece apenas no denominador, então usamos a regra do quociente novamente:

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a , ou seja, .
Observamos que não aparece na função , então a derivada em relação a é simplesmente zero:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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