Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que fazem parte do cálculo diferencial multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Como
aparece apenas no numerador, a derivada será:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e as outras partes são tratadas como constantes.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a
, ou seja,
.
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador dependem de
, então precisamos usar a regra do quociente:
Calculando as derivadas separadamente:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida para
:
Expandindo os termos no numerador:
Subtraindo os termos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
aparece apenas no denominador, então usamos a regra do quociente novamente:
Passo 6
Por fim, vamos derivar em relação a
, ou seja,
.
Observamos que
não aparece na função
, então a derivada em relação a
é simplesmente zero:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: