Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das séries númericas.
13. Série Geométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
sumn=0^infty 13^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, temos que calcular a soma dela. Vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas para resolver isso, que envolve entender como funcionam essas séries e aplicar a fórmula certa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica é da forma sumn=0^infty 13^n = sumn=0^infty (13)^n , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, podemos reescrever a série assim:
Aqui, (quando , temos ) e .

Passo 3

Agora, para determinar se a série converge ou diverge, lembramos do Teste da Série Geométrica. Esse teste diz que uma série geométrica converge se e diverge se .
No nosso caso, e . Então, pela regra, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde S = 11 - 13 = 123 = 32 é a soma da série, é o primeiro termo e é a razão.
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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