Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das séries númericas.
13. Série Geométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
13. Série Geométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, temos que calcular a soma dela. Vamos usar o conteúdo de Séries Geométricas para resolver isso, que envolve entender como funcionam essas séries e aplicar a fórmula certa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica é da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos consecutivos.
No nosso caso, podemos reescrever a série assim:
Aqui,
(quando
, temos
) e
.
Passo 3
Agora, para determinar se a série converge ou diverge, lembramos do Teste da Série Geométrica. Esse teste diz que uma série geométrica
converge se
e diverge se
.
No nosso caso,
e
. Então, pela regra, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Onde
é a soma da série,
é o primeiro termo e
é a razão.
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A série
é convergente e a soma dela é
.