Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) da sequência
. Aqui, estamos trabalhando com supondo limites de sequências, que é uma parte da análise matemática. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento da fração
muda conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com
quando
cresce. A sequência é
. Conforme
fica maior,
fica menor porque estamos dividindo 1 por um número cada vez maior. Então,
está se aproximando de 1.
Passo 3
Agora, para encontrar o ínfimo (inf) da sequência, queremos o menor valor que a sequência atinge ou se aproxima. Sabemos que
nunca será negativa, então o menor valor de
ocorre quando
tende ao infinito. Assim,
. Portanto, o ínfimo é 1.
Passo 4
Para encontrar o supremo (sup), buscamos o maior valor que a sequência alcança. Como
é maior quando
é menor, o maior valor de
ocorre quando
. Substituindo, temos
. Portanto, o supremo é 2.
Resposta
O ínfimo da sequência
é 1 e o supremo é 2.