★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=\int_{y}^{x} \cos ^{2} t \mathrm{~d} t

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\int_{y}^{x}\cos^{2}t\,\mathrm{d}t.
Informações dadas:
  • A função é definida por uma integral com limite superior (x) e limite inferior (y).
  • O integrando é \cos^{2}t, que depende apenas de t, não de x nem de y diretamente.
    O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia-chave que vamos usar (a explicação é passo a passo, sem pressupor que você já saiba): se uma função F é uma primitiva (antiderivada) de uma função g, isto é,
F'(t)=g(t),
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para qualquer constante a vale
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x} g(t)\,\mathrm{d}t = g(x).
Isto significa: derivar uma integral cuja única dependência é no limite superior retorna o integrando avaliado nesse limite. Analogamente, se o limite inferior depende de uma variável, alterar o limite inferior muda o intervalo de integração com sinal trocado, e obtemos a regra
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{y}^{b} g(t)\,\mathrm{d}t = -\,g(y).
Mais geral (regra de Leibniz): se \displaystyle H(u,v)=\int_{u}^{v} g(t)\,\mathrm{d}t então
\frac{\partial H}{\partial v} = g(v),\qquad \frac{\partial H}{\partial u} = -g(u).
Aqui g(t)=\cos^{2}t. Essas fórmulas são exatamente o que precisamos: elas dizem como a integral muda quando se mexe no limite superior ou no limite inferior.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Raciocínio: na integral \displaystyle f(x,y)=\int_{y}^{x}\cos^{2}t\,\mathrm{d}t o limite superior é x e o limite inferior é y. Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante. Pela regra do passo anterior, a derivada em relação ao limite superior é o integrando avaliado naquele limite. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos^{2}x.
Explicando de outro jeito (mesma ideia, só com primitiva): se F é uma primitiva de \cos^{2}t então f(x,y)=F(x)-F(y). Diferenciando em relação a x obtemos F'(x)=\cos^{2}x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Raciocínio: ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Mudar o limite inferior diminui o intervalo de integração quando y aumenta, por isso surge o sinal negativo. Pela regra do passo 2,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\,\cos^{2}y.
Pelo ponto de vista da primitiva F (com f(x,y)=F(x)-F(y)), ao derivar em y temos -F'(y)=-\cos^{2}y.

Passo 5

Verificação extra (opcional, mas útil para fixar): calcular uma primitiva explícita de \cos^{2}t e diferenciar.
Usar a identidade \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}. Então
\int \cos^{2}t\,\mathrm{d}t = \int \frac{1+\cos(2t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin(2t) + C.
Definindo F(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{4}\sin(2t), temos F'(t)=\cos^{2}t e
f(x,y)=F(x)-F(y).
Diferenciando,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=F'(x)=\cos^{2}x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-F'(y)=-\cos^{2}y,
o que confirma os resultados anteriores.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos^{2}x
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\cos^{2}y

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