★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
- A função é definida por uma integral com limite superior
e limite inferior . - O integrando é
, que depende apenas de , não de nem de diretamente.
O que é pedido: - Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar uma ideia-chave que vamos usar (a explicação é passo a passo, sem pressupor que você já saiba): se uma função
é uma primitiva (antiderivada) de uma função
, isto é,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para qualquer constante
vale
Isto significa: derivar uma integral cuja única dependência é no limite superior retorna o integrando avaliado nesse limite. Analogamente, se o limite inferior depende de uma variável, alterar o limite inferior muda o intervalo de integração com sinal trocado, e obtemos a regra
Mais geral (regra de Leibniz): se
então
Aqui
. Essas fórmulas são exatamente o que precisamos: elas dizem como a integral muda quando se mexe no limite superior ou no limite inferior.
Passo 3
Calcular
.
Raciocínio: na integral
o limite superior é
e o limite inferior é
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante. Pela regra do passo anterior, a derivada em relação ao limite superior é o integrando avaliado naquele limite. Logo
Explicando de outro jeito (mesma ideia, só com primitiva): se
é uma primitiva de
então
. Diferenciando em relação a
obtemos
.
Passo 4
Calcular
.
Raciocínio: ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Mudar o limite inferior diminui o intervalo de integração quando
aumenta, por isso surge o sinal negativo. Pela regra do passo 2,
Pelo ponto de vista da primitiva
(com
), ao derivar em
temos
.
Passo 5
Verificação extra (opcional, mas útil para fixar): calcular uma primitiva explícita de
e diferenciar.
Usar a identidade
. Então
Definindo
, temos
e
Diferenciando,
o que confirma os resultados anteriores.