Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y)=integraly^x cos ^2 t d t.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=integraly^xcos^2 t,dt
e pede as derivadas parciais de primeira ordem.
O conteúdo aqui é a regra de Leibniz (Teorema Fundamental do Cálculo) para derivadas de integrais cujos limites dependem dos parâmetros.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo ao limite superior:
partialpartial xintegraly^xcos^2 t,dt =cos^2(x)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y tratamos x como constante. Como y aparece no limite inferior, vem com sinal negativo:
partialpartial yintegraly^xcos^2 t,dt =-cos^2(y)

Resposta

partial fpartial x=cos^2(x), partial fpartial y=-cos^2(y)

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