Determine as derivadas que se pede em cada item;
c) y=(1-7 t)^5, d^3 yd t^3 e d^2 yd t^2;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=(1-7t)^5
e pede a segunda derivada d^2ydt^2 e a terceira derivada d^3ydt^3.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia e a derivada de potência: se u(t) é função de t, então
ddtl(u(t)^nr)=n,u(t)^n-1,dudt

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para encontrar a primeira derivada y'=dydt: seja u(t)=1-7t, então y=u^5 e
dudt=-7
Logo,
y'=dydt =5,u^4,dudt =5,(1-7t)^4times(-7) =-35,(1-7t)^4

Passo 3

Agora derivamos y'=-35,(1-7t)^4 para obter a segunda derivada y''=d^2ydt^2. De novo usamos a cadeia com u=1-7t e dudt=-7:
y''=ddtl[-35,u^4r] =-35cdot4,u^3,dudt =-140,(1-7t)^3times(-7) =980,(1-7t)^3

Passo 4

Por fim, derivamos y''=980,(1-7t)^3 para achar a terceira derivada y'''=d^3ydt^3. Mantendo u=1-7t e dudt=-7:
y'''=ddtl[980,u^3r] =980cdot3,u^2,dudt =2940,(1-7t)^2times(-7) =-20580,(1-7t)^2

Resposta

d^2ydt^2=980,(1-7t)^3, d^3ydt^3=-20580,(1-7t)^2

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