Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^2+2, y=sen(x), x=-1, x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre áreas delimitadas por curvas. A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas y = x^2 + 2 e y = sin(x) , além das linhas verticais x = -1 e x = 2 . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a área entre duas curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor. A curva y = x^2 + 2 é uma parábola que abre para cima e está deslocada 2 unidades para cima. Já y = sin(x) é a clássica função seno, que oscila entre -1 e 1. As linhas verticais x = -1 e x = 2 vão limitar nossa região no eixo x.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo de x = -1 a x = 2 . Isso porque, na integral, subtraímos a curva de baixo da curva de cima para obter uma área positiva.

Passo 4

Vamos avaliar as funções nos pontos extremos e alguns pontos intermediários para ver qual está por cima:
  • Em x = -1 :
    y = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3
    y = sin(-1) approx -0.841
  • Em x = 0 :
y = 0^2 + 2 = 2
y = sin(0) = 0
  • Em x = 1 :
y = 1^2 + 2 = 3
y = sin(1) approx 0.841
  • Em x = 2 :
y = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6
y = sin(2) approx 0.909

Passo 5

Vemos que, para todo x entre -1 e 2, a parábola y = x^2 + 2 está acima da função seno y = sin(x) . Então, a área entre elas é a integral da diferença dessas funções nesse intervalo.

Passo 6

A fórmula para a área A é:
A = integral-1^2 ( (x^2 + 2) - sin(x) ) dx
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar x^2 + 2 :
integral (x^2 + 2) dx = x^33 + 2x
Depois, vamos integrar sin(x) :
integral sin(x) dx = -cos(x)
Então, a integral completa fica:
[ x^33 + 2x + cos(x) ]-1^2

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 2 e -1:
Para x = 2 :
2^33 + 2(2) + cos(2) = 83 + 4 + cos(2)
Para x = -1 :
(-1)^33 + 2(-1) + cos(-1) = -13 - 2 + cos(1)

Passo 9

Calculando a diferença:
A = ( 83 + 4 + cos(2) ) - ( -13 - 2 + cos(1) )
Simplificando:
A = 83 + 4 + cos(2) + 13 + 2 - cos(1)
A = 93 + 6 + cos(2) - cos(1)
A = 3 + 6 + cos(2) - cos(1)
A = 9 + cos(2) - cos(1)

Passo 10

Agora, substituindo os valores numéricos de cos(1) e cos(2) :
cos(1) approx 0.5403
cos(2) approx -0.4161
Portanto:
A = 9 + (-0.4161) - 0.5403 = 9 - 0.4161 - 0.5403 = 8.0436

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 8.04 unidades quadradas.

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