Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre áreas delimitadas por curvas. A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas
e
, além das linhas verticais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a área entre duas curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor. A curva
é uma parábola que abre para cima e está deslocada 2 unidades para cima. Já
é a clássica função seno, que oscila entre -1 e 1. As linhas verticais
e
vão limitar nossa região no eixo x.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo de
a
. Isso porque, na integral, subtraímos a curva de baixo da curva de cima para obter uma área positiva.
Passo 4
Vamos avaliar as funções nos pontos extremos e alguns pontos intermediários para ver qual está por cima:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Vemos que, para todo
entre -1 e 2, a parábola
está acima da função seno
. Então, a área entre elas é a integral da diferença dessas funções nesse intervalo.
Passo 6
A fórmula para a área
é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar
:
Depois, vamos integrar
:
Então, a integral completa fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 2 e -1:
Para :
Para
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituindo os valores numéricos de
e
:
Portanto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.