Encontre o limite.
lim x 3 pi / 2 cos (x)x-3 pi / 2

Passo 1

O enunciado pede
limxto 3pi/2cos(x)x - 3pi/2
Estamos diante de um limite do tipo 0/0, pois cos(3pi/2)=0 e 3pi/2-3pi/2=0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se lim f(x)=0 e lim g(x)=0, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que este último exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
cosl(3pi/2r)=0, 3pi/2-3pi/2=0,
logo temos tfrac00.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
  • f(x)=cos(x) então f'(x)=-sin(x).
  • g(x)=x-3pi/2 então g'(x)=1.
    Assim
limxto 3pi/2cos(x)x-3pi/2 =limxto 3pi/2-sin(x)1 =-sinl(3pi/2r)

Passo 4

Calculamos sin(3pi/2). Como no círculo trigonométrico
sinl(3pi/2r)=-1,
segue
-sinl(3pi/2r)=-(-1)=1

Resposta

1

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