Encontre o limite.
lim x infty ln (x)x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyln(x)x
Esse tipo de limite envolve uma comparação de crescimento entre a função logarítmica e a função polinomial. Para resolver, vamos identificar a forma indeterminada e usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Quando xtoinfty, temos ln(x)toinfty e xtoinfty, logo a expressão ln(x)x está na forma indeterminada inftyinfty. Nesse caso, podemos aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 3

A regra de l’Hôpital afirma que, se
limxtoinftyf(x)g(x) é da formainftyinfty, é
então
limxtoinftyf(x)g(x) = limxtoinftyf'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista. Aqui escolhemos
f(x)=ln(x), g(x)=x

Passo 4

Calculamos as derivadas:
f'(x)=1x, g'(x)=1
Substituindo na regra de l’Hôpital, obtemos
limxtoinftyln(x)x = limxtoinftyf'(x)g'(x) = limxtoinfty1x1 = limxtoinfty1x

Passo 5

É conhecido que
limxtoinfty1x=0
Portanto, concluímos que o limite original vale zero.

Resposta

0

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