Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y) = x^2 * y^2 * (x^4 + y^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro do tópico de cálculo diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Diferente das derivadas normais, que consideram todas as variáveis mudando, nas derivadas parciais mantemos uma variável fixa enquanto derivamos em relação à outra. Aqui, vamos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar encontrando , ou seja, a derivada de em relação a , mantendo constante.
A função é:
Observamos que e são duas funções que multiplicam entre si. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
(Note que é tratado como constante porque estamos derivando em relação a ).

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Agora, simplificamos cada termo:
Então, somando tudo:

Passo 6

Agora, vamos encontrar , a derivada de em relação a , mantendo constante.
Usamos novamente a regra do produto:
Onde e .

Passo 7

Calculando as derivadas individuais:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
(Agora, é tratado como constante).

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

Exercícios relacionados