Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro do tópico de cálculo diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e entender como derivar funções que dependem de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Diferente das derivadas normais, que consideram todas as variáveis mudando, nas derivadas parciais mantemos uma variável fixa enquanto derivamos em relação à outra. Aqui, vamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
, ou seja, a derivada de
em relação a
, mantendo
constante.
A função é:
Observamos que
e
são duas funções que multiplicam entre si. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
(Note que
é tratado como constante porque estamos derivando em relação a
).
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Agora, simplificamos cada termo:
Então, somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, a derivada de
em relação a
, mantendo
constante.
Usamos novamente a regra do produto:
Onde
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
(Agora,
é tratado como constante).
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e