Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Esse problema está no campo do Cálculo Diferencial, mais especificamente na área que estuda derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolvê-lo, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, então
.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 5
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Sabendo que a derivada de
é
, onde
.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 8
Agora, substituímos essa derivada na expressão de
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto:
Sabemos que
.
Passo 10
Portanto:
Agora, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 11
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 12
Derivando
em relação a
:
Passo 13
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 14
Agora, substituímos essa derivada na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e