Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g(x, y) = y * tg(x^2 * y^3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Esse problema está no campo do Cálculo Diferencial, mais especificamente na área que estuda derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolvê-lo, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Sabemos que é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , então .

Passo 4

Simplificando a expressão:
Agora, precisamos derivar em relação a .

Passo 5

Para derivar , usamos a regra da cadeia. Sabendo que a derivada de é , onde .

Passo 6

Derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 8

Agora, substituímos essa derivada na expressão de :

Passo 9

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:
Sabemos que .

Passo 10

Portanto:
Agora, precisamos derivar em relação a .

Passo 11

Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 12

Derivando em relação a :

Passo 13

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 14

Agora, substituímos essa derivada na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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