Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mostra como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e a
separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
, que vamos chamar de
.
A função é
. Aqui temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que
.
Então, vamos identificar
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que vamos chamar de
.
A função é novamente
. Aqui,
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
, onde
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e