Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y) = x^2 * ln(1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mostra como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo a outra constante. Então, vamos encontrar as derivadas parciais em relação a e a separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial em relação a , que vamos chamar de .
A função é . Aqui temos um produto de duas funções de : e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que .
Então, vamos identificar e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , onde :
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que vamos chamar de .
A função é novamente . Aqui, é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .
A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a , onde :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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