Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y) = (x^2 + y^2) ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Ela é formada pelo produto de duas partes: e .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Primeiro, calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos . Como , usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Então:

Passo 7

De forma similar, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 8

Calculamos :

Passo 9

Agora, calculamos usando a regra da cadeia:

Passo 10

Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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