Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Ela é formada pelo produto de duas partes:
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, calculamos
. Como
, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Então:
Passo 7
De forma similar, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 8
Calculamos
:
Passo 9
Agora, calculamos
usando a regra da cadeia:
Passo 10
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e