Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O enunciado nos dá uma função
que depende de outras funções
,
e
, que por sua vez dependem de
e
. Precisamos encontrar as derivadas parciais
e
quando
.
Conteúdo da Matéria: Cálculo Diferencial Multivariável, especificamente a Regra da Cadeia para derivadas parciais.
O que vamos precisar:
- Aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
- Calcular derivadas parciais de funções compostas.
- Avaliar as derivadas no ponto específico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
,
e
:
E as funções
,
e
são dadas por:
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Para uma função
, as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
,
e
em relação a
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Passo 6
Vamos agora juntar tudo para calcular
:
E para
:
Passo 7
Agora, vamos substituir
e
para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos
,
e
nesse ponto:
Então,
.
Passo 8
Substituindo esses valores nas expressões das derivadas parciais:
Para
:
Para
: