Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(b) R=ln (u^2+v^2+w^2), u=x+2 y, v=2 x-y, w=2 x y; partial Rpartial x, partial Rpartial y quando x=y=1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O enunciado nos dá uma função que depende de outras funções , e , que por sua vez dependem de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais e quando .
Conteúdo da Matéria: Cálculo Diferencial Multivariável, especificamente a Regra da Cadeia para derivadas parciais.
O que vamos precisar:
  • Aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
  • Calcular derivadas parciais de funções compostas.
  • Avaliar as derivadas no ponto específico dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como R = ln(u^2 + v^2 + w^2) depende de u = x + 2y , v = 2x - y e w = 2xy :
E as funções , e são dadas por:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia. Para uma função partial Rpartial x = partial Rpartial u cdot partial upartial x + partial Rpartial v cdot partial vpartial x + partial Rpartial w cdot partial wpartial x , as derivadas parciais de partial Rpartial y = partial Rpartial u cdot partial upartial y + partial Rpartial v cdot partial vpartial y + partial Rpartial w cdot partial wpartial y em relação a e são dadas por:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de partial Rpartial u = 2uu^2 + v^2 + w^2 em relação a partial Rpartial v = 2vu^2 + v^2 + w^2 , partial Rpartial w = 2wu^2 + v^2 + w^2 e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 1 , partial upartial y = 2 e partial vpartial x = 2 em relação a partial vpartial y = -1 e partial wpartial x = 2y :
Para partial wpartial y = 2x e :
Para e :
Para e :

Passo 6

Vamos agora juntar tudo para calcular partial Rpartial x = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 1 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2y :
partial Rpartial y = 2uu^2 + v^2 + w^2 cdot 2 + 2vu^2 + v^2 + w^2 cdot (-1) + 2wu^2 + v^2 + w^2 cdot 2x
E para :

Passo 7

Agora, vamos substituir u = 1 + 2(1) = 3 e v = 2(1) - 1 = 1 para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos w = 2(1)(1) = 2 , e nesse ponto:
Então, .

Passo 8

Substituindo esses valores nas expressões das derivadas parciais:
Para partial Rpartial x = 2(3)14 cdot 1 + 2(1)14 cdot 2 + 2(2)14 cdot 2(1) :
partial Rpartial x = 614 + 414 + 814
partial Rpartial x = 1814 = 97
partial Rpartial y = 2(3)14 cdot 2 + 2(1)14 cdot (-1) + 2(2)14 cdot 2(1)
Para partial Rpartial y = 1214 - 214 + 814 :
partial Rpartial y = 1814 = 97

Resposta

partial Rpartial x = 97 e partial Rpartial y = 97 quando x = y = 1

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