Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de quatro variáveis:
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, que é uma variável simples, já que
é multiplicada diretamente por
. Lembrando que, ao derivar em relação a
, tratamos as outras variáveis (
,
,
) como constantes.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, temos que aplicar a regra do produto porque
está em dois lugares: multiplicando
e dentro da função
. Além disso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Vamos para a derivada parcial em relação a
. Aqui,
aparece em
, então usamos a regra do poder. As outras variáveis são tratadas como constantes.
Derivando
em relação a
:
Multiplicando pelo restante da função:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos derivar
em relação a
. Aqui,
está dentro da função
, então usamos a regra da cadeia novamente.
Derivando
em relação a
:
Multiplicando pelo restante da função:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: