Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y, z, t) = x * y * z^2 * tan(y * t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de quatro variáveis: . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a cada uma das variáveis , , e . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que é uma variável simples, já que é multiplicada diretamente por . Lembrando que, ao derivar em relação a , tratamos as outras variáveis ( , , ) como constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, temos que aplicar a regra do produto porque está em dois lugares: multiplicando e dentro da função . Além disso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar .
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 4

Vamos para a derivada parcial em relação a . Aqui, aparece em , então usamos a regra do poder. As outras variáveis são tratadas como constantes.
Derivando em relação a :
Multiplicando pelo restante da função:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos derivar em relação a . Aqui, está dentro da função , então usamos a regra da cadeia novamente.
Derivando em relação a :
Multiplicando pelo restante da função:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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