Sejam phi, psi: R R funções com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em R. Considere u(x, y)=phi(x-2 y)+psi(x+2 y), forall(x, y) in R^2. Calcule o valor da expressão
partial^2 upartial y^2(x0, y0)-4 partial^2 upartial x^2(x0, y0)
para (x0, y0) in R^2 fixado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular uma expressão envolvendo derivadas parciais de segunda ordem de uma função . A função é dada em termos de outras duas funções e . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, é uma combinação das funções e , onde os argumentos são expressões lineares de e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de partial upartial y = phi'(x - 2y) cdot (-2) + psi'(x + 2y) cdot 2 em relação a partial upartial y = -2phi'(x - 2y) + 2psi'(x + 2y) . Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 upartial y^2 = partialpartial y ( -2phi'(x - 2y) + 2psi'(x + 2y) ) em relação a partial^2 upartial y^2 = -2 cdot (-2) phi''(x - 2y) + 2 cdot 2 psi''(x + 2y) = 4phi''(x - 2y) + 4psi''(x + 2y) :
Aplicando novamente a regra da cadeia:

Passo 5

Vamos calcular agora a segunda derivada parcial de partial upartial x = phi'(x - 2y) + psi'(x + 2y) em relação a partial^2 upartial x^2 = phi''(x - 2y) + psi''(x + 2y) . Primeiro, a primeira derivada parcial em relação a é:
Então, a segunda derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos montar a expressão pedida no exercício:
partial^2 upartial y^2(x0, y0) - 4 partial^2 upartial x^2(x0, y0)
Substituindo as derivadas que calculamos:
4phi''(x0 - 2y0) + 4psi''(x0 + 2y0) - 4( phi''(x0 - 2y0) + psi''(x0 + 2y0) )
Distribuindo o -4:
4phi''(x0 - 2y0) + 4psi''(x0 + 2y0) - 4phi''(x0 - 2y0) - 4psi''(x0 + 2y0) = 0

Resposta

O valor da expressão é .

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