Sejam
funções com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. Considere
. Calcule o valor da expressão
para
fixado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para calcular uma expressão envolvendo derivadas parciais de segunda ordem de uma função
. A função
é dada em termos de outras duas funções
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
é uma combinação das funções
e
, onde os argumentos são expressões lineares de
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando novamente a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos calcular agora a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada parcial em relação a
é:
Então, a segunda derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos montar a expressão pedida no exercício:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Distribuindo o -4:
Resposta
O valor da expressão é
.