Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
em todos os pontos do seu domínio. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do produto, já que a função é o produto de
,
e
. A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando isso:
Aqui, derivamos
(que dá 1 multiplicado por
) e também derivamos
em relação a
(usando a regra da cadeia, que traz um fator de
).
Passo 4
Simplificando a expressão que obtivemos:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é
multiplicado por
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 6
Derivando
em relação a
, novamente usamos a regra do produto:
Assim como antes, derivamos
(que dá 1 multiplicado por
) e derivamos
em relação a
(usando a regra da cadeia, que traz um fator de
).
Passo 7
Simplificando a expressão:
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é
multiplicado por
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e