Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y) = x y e^(x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função em todos os pontos do seu domínio. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 3

Para derivar em relação a , usamos a regra do produto, já que a função é o produto de , e . A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando isso:
Aqui, derivamos (que dá 1 multiplicado por ) e também derivamos em relação a (usando a regra da cadeia, que traz um fator de ).

Passo 4

Simplificando a expressão que obtivemos:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a é multiplicado por .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 6

Derivando em relação a , novamente usamos a regra do produto:
Assim como antes, derivamos (que dá 1 multiplicado por ) e derivamos em relação a (usando a regra da cadeia, que traz um fator de ).

Passo 7

Simplificando a expressão:
Portanto, a derivada parcial de em relação a é multiplicado por .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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