Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.
z=sen(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos uma função composta aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = cos(xy) cdot partialpartial x(xy) em relação a partialpartial x(xy) = y , ou seja, partial zpartial x = y cos(xy) . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é . Para derivar, usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = cos(xy) cdot partialpartial y(xy) em relação a partialpartial y(xy) = x , ou seja, partial zpartial y = x cos(xy) . Desta vez, tratamos como uma constante.
Novamente, usando a função e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Então, substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial zpartial x = y cos(x y)
e
partial zpartial y = x cos(x y)

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