Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
y^prime+y=2 e^x+4 sen x+3 cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
y' + y = 2 e^x + 4 sin x + 3 cos x
Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante e conhecer sobre equações diferenciais lineares. Vamos desvendar cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + P(x)y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral 1 dx = e^x , que é dado por:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^x y' + e^x y = 2 e^2x + 4 e^x sin x + 3 e^x cos x :
ddx(e^x y) = 2 e^2x + 4 e^x sin x + 3 e^x cos x
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddx(e^x y) dx = integral (2 e^2x + 4 e^x sin x + 3 e^x cos x ) dx :
e^x y = integral 2 e^2x dx + integral 4 e^x sin x dx + integral 3 e^x cos x dx + C
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira Integral:
integral 2 e^2x dx = 2 cdot 12 e^2x = e^2x
  1. Segunda Integral:
integral 4 e^x sin x dx
Usamos a integração por partes ou a fórmula padrão para integral e^x sin x dx = e^x2 (sin x - cos x) :
4 cdot e^x2 (sin x - cos x) = 2 e^x (sin x - cos x)
Portanto:
integral 3 e^x cos x dx
  1. Terceira Integral:
integral e^x cos x dx = e^x2 (sin x + cos x)
Usamos a integração por partes ou a fórmula padrão para 3 cdot e^x2 (sin x + cos x) = 32 e^x (sin x + cos x) :
Portanto:

Passo 7

Juntando todas as integrações:
e^x y = e^2x + 2 e^x (sin x - cos x) + 32 e^x (sin x + cos x) + C

Passo 8

Agora, vamos simplificar os termos com e^x y = e^2x + e^x [ 2 (sin x - cos x) + 32 (sin x + cos x) ] + C :
e^x y = e^2x + e^x ( 2 sin x - 2 cos x + 32 sin x + 32 cos x ) + C
Distribuindo:
e^x y = e^2x + e^x ( 72 sin x + -12 cos x ) + C
Combinando os termos semelhantes:

Passo 9

Para isolar y = e^x + 72 sin x - 12 cos x + C e^-x , dividimos todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x + 72 sin x - 12 cos x + C e^-x
Onde é a constante de integração.

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