Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante e conhecer sobre equações diferenciais lineares. Vamos desvendar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Primeira Integral:
- Segunda Integral:
Usamos a integração por partes ou a fórmula padrão para
:
Portanto:
- Terceira Integral:
Usamos a integração por partes ou a fórmula padrão para
:
Portanto:
Passo 7
Juntando todas as integrações:
Passo 8
Agora, vamos simplificar os termos com
:
Distribuindo:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 9
Para isolar
, dividimos todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.