Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçäo.
f(x, t)=P^{\prime} e^{-x}

Passo 1

Resumindo, temos uma função de duas variáveis
f(x,t) = P'(t)\,e^{-x},
onde P é uma função de t, de modo que P'(t)=\frac{dP}{dt}. O objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial t}. Vamos usar a regra da derivada de produto, entendendo que em cada parcial tratamos uma variável como constante.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} consideramos P'(t) como constante e derivamos apenas e^{-x}. Como \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = P'(t)\,\frac{d}{dx}e^{-x} = P'(t)\,(-e^{-x}) = -P'(t)\,e^{-x}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial t} tratamos e^{-x} como constante e derivamos P'(t), obtendo P''(t). Logo
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{d}{dt}P'(t)\;\cdot e^{-x} = P''(t)\,e^{-x}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = -P'(t)\,e^{-x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial t} = P''(t)\,e^{-x}.

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