Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçäo.
f(x, y, z)=x y^{2} e^{-z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x\,y^{2}\,e^{-z}.
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial de funções de várias variáveis, usando regra do produto (para x e y^2) e regra da cadeia (para e^{-z}).

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y e z como constantes e derivamos apenas em relação a x. Como f é produto de x por y^2e^{-z}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =1\cdot y^{2}e^{-z} =y^{2}e^{-z}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x e z como constantes e derivamos y^2. Assim, usando \frac{d}{dy}(y^{2})=2y,
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot 2y\cdot e^{-z} =2xy\,e^{-z}.

Passo 4

Para calcular \frac{\partial f}{\partial z}, tratamos x e y como constantes e derivamos e^{-z}. Pela regra da cadeia, \frac{d}{dz}(e^{-z})=-e^{-z}, logo
\frac{\partial f}{\partial z} =x\,y^{2}\cdot(-e^{-z}) =-x\,y^{2}e^{-z}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2}e^{-z},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy\,e^{-z},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-x\,y^{2}e^{-z}.

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