Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçäo.
z=x \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = x\,\operatorname{sen}(xy).
O conteúdo usado será a regra do produto (para derivar x\cdot\operatorname{sen}(xy)) e a regra da cadeia (para derivar \operatorname{sen}(xy)).

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Aplicando a regra do produto a u(x,y)=x e v(x,y)=\operatorname{sen}(xy):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x)\,\operatorname{sen}(xy) + x\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr].
Sabemos que \frac{\partial}{\partial x}(x)=1 e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr] = \cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial x}(xy) = \cos(xy)\,y.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x} = \operatorname{sen}(xy) + x\bigl(y\cos(xy)\bigr) = \operatorname{sen}(xy) + xy\cos(xy).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Aqui x é constante em relação a y, então
\frac{\partial z}{\partial y} = x\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr].
De novo pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}(xy)\bigr] = \cos(xy)\,\frac{\partial}{\partial y}(xy) = \cos(xy)\,x.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = x\bigl(x\cos(xy)\bigr) = x^2\cos(xy).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \operatorname{sen}(xy) + xy\cos(xy), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2\cos(xy).

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