Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como
muda em relação a
mantendo
constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.
Então, temos uma função externa
onde
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
- A derivada de
é vezes a derivada de . - Aqui,
, e a derivada de em relação a é .
Então:
Agora, multiplicamos isso pela derivada da função externa
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra da cadeia. A função é
.
Primeiro, derivamos a função externa
onde
. A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Agora, derivamos
em relação a
:
- A derivada de
é vezes a derivada de . - Aqui,
, e a derivada de em relação a é .
Então:
Agora, multiplicamos isso pela derivada da função externa
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: