Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, t) = e^(sen(t / x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como muda em relação a mantendo constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.
Então, temos uma função externa onde . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Primeiro, derivamos em relação a :
  • A derivada de é vezes a derivada de .
  • Aqui, , e a derivada de em relação a é .
Então:
Agora, multiplicamos isso pela derivada da função externa :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra da cadeia. A função é .
Primeiro, derivamos a função externa onde . A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Agora, derivamos em relação a :
  • A derivada de é vezes a derivada de .
  • Aqui, , e a derivada de em relação a é .
Então:
Agora, multiplicamos isso pela derivada da função externa :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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