(3,0 pts) Considere um processo contínuo de trefilação de arame de aço SAE 1060 \mathrm{com} 1,5 \mathrm{~mm} de diâmetro a partir de fio-máquina com 4,5 \mathrm{~mm} de diâmetro. Dados: K=650 \mathrm{MPa} e n=0,18 (material recozido), v_{o}: 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mu=0,1, \rho=7800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) Calcule o número de passes, força e potência necessários para a operação.
b) Calcule o tempo e a energia consumida para a produção de 1,0 \mathrm{Ton} de arame.
c) Calcule o custo de energia por metro de arame considerando o preço do \mathrm{kWh}=\mathrm{R} \ 0,70$

Passo 1

O enunciado trata de um processo contínuo de trefilação de fio de aço SAE 1060, reduzindo o diâmetro de d_{0}=4{,}5\rm \,mm para d_{f}=1{,}5\rm \,mm. Dados do material recozido: K=650\rm \,MPa, n=0,18; coeficiente de atrito \mu=0,1; velocidade de saída v_{o}=3{,}0\rm \,m/s; densidade \rho=7800\rm \,kg/m^{3}.
Conteúdo: cálculo de número de passes (adotando redução de área típica por passe), força e potência de trefilação (usando lei de Hollomon e trabalho ideal + atrito), depois tempo e energia para produzir 1 t de fio e, por fim, custo de energia por metro.

Passo 2

Calcular áreas inicial e final e número de passes assumindo redução de área por passe de 20\% (valor usual em trefilação de aço).
Área inicial
A_{0}=\frac{\pi d_{0}^{2}}{4} =\frac{\pi\,(4{,}5\times10^{-3})^{2}}{4} \approx 15{,}90\times10^{-6}\rm \,m^{2}
Área final
A_{f}=\frac{\pi d_{f}^{2}}{4} =\frac{\pi\,(1{,}5\times10^{-3})^{2}}{4} \approx 1{,}767\times10^{-6}\rm \,m^{2}
Razão de áreas
\frac{A_{f}}{A_{0}}\approx\frac{1{,}767}{15{,}90}\approx0{,}111
Número de passes N tal que (1 - 0{,}20)^{N} = A_{f}/A_{0}:
N =\frac{\ln\bigl(A_{f}/A_{0}\bigr)}{\ln(0{,}8)} \approx\frac{\ln(0{,}111)}{\ln(0{,}8)} \approx 9{,}85
Arredondando para cima, N=10 passes.

Passo 3

Calcular força e potência usando o trabalho por unidade de volume \displaystyle w=\int\sigma\,d\varepsilon com \sigma=K\,\varepsilon^{n}, onde
\varepsilon =\ln\!\bigl(A_{0}/A_{f}\bigr) =\ln(9)\approx2{,}197
Logo
w =\int_{0}^{\varepsilon}K\,\varepsilon^{n}\,d\varepsilon =\frac{K}{n+1}\,\varepsilon^{\,n+1}
\frac{K}{n+1} =\frac{650\times10^{6}}{1{,}18} \approx5{,}509\times10^{8}\rm \,Pa \quad,\quad \varepsilon^{\,n+1} =2{,}197^{1{,}18}\approx2{,}527
w\approx5{,}509\times10^{8}\times2{,}527 \approx1{,}392\times10^{9}\rm \,J/m^{3}
Taxa volumétrica de saída
\dot V =v_{o}\,A_{f} =3{,}0\;\times1{,}767\times10^{-6} \approx5{,}301\times10^{-6}\rm \,m^{3}/s
Potência ideal
P_{\rm ideal} =w\;\dot V \approx1{,}392\times10^{9}\times5{,}301\times10^{-6} \approx7{,}370\rm \,W
Incluindo atrito via fator (1+\mu)=1{,}1:
P \approx7{,}370\times1{,}1 \approx8{,}107\rm \,W
Força de trefilação
F=\frac{P}{v_{o}} \approx\frac{8{,}107}{3{,}0} \approx2{,}703\rm \,N

Passo 4

Tempo e energia para produzir 1{,}0 t 1000\rm \,kg. Taxa de massa
\dot m =\rho\,v_{o}\,A_{f} =7800\times5{,}301\times10^{-6} \approx0{,}04134\rm \,kg/s
Tempo
t=\frac{1000}{0{,}04134}\approx24\,183\rm \,s\approx6{,}72\rm \,h
Energia consumida
E =P\,t =8{,}107\rm \,W\times24\,183\rm \,s \approx1{,}963\times10^{8}\rm \,J
Convertendo para kWh 1\rm\,kWh=3,6\times10^{6}\,J:
E\approx\frac{1{,}963\times10^{8}}{3{,}6\times10^{6}} \approx54{,}5\rm \,kWh

Passo 5

Custo de energia por metro de fio. Comprimento total em 1 t:
massa por metro
m' =\rho\,A_{f} =7800\times1{,}767\times10^{-6} \approx0{,}01378\rm \,kg/m
L=\frac{1000}{0{,}01378}\approx72\,584\rm \,m
Energia por metro
\frac{54{,}5\rm \,kWh}{72\,584\rm \,m} \approx7{,}51\times10^{-4}\rm \,kWh/m
Custo a \,R\$0{,}70/kWh
C =7{,}51\times10^{-4}\times0{,}70 \approx5{,}26\times10^{-4}\rm \,R\$/m

Resposta

Número de passes N=10
Força F\approx2{,}70\rm \,kN
Potência P\approx8{,}11\rm \,kW
Tempo para 1 t t\approx6{,}72\rm \,h
Energia E\approx54{,}5\rm \,kWh
Custo de energia por metro C\approx5{,}26\times10^{-4}\rm \,R\$/m

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