Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . A matéria aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável independente e queremos saber como a função muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é .
Aqui,
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
. Aplicamos a regra do produto:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar a função seno:
Derivando
em relação a
:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Novamente, a função é .
Aqui,
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
. Aplicamos a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
A função é .
Aqui, teremos que derivar usando a regra do produto, já que
aparece multiplicando a função seno e também está no denominador dentro do seno.
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
, então:
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: