Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u = z sen(y/(x+z))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . A matéria aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável independente e queremos saber como a função muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é .
Aqui, é tratado como uma constante quando derivamos em relação a . Aplicamos a regra do produto:
Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar a função seno:
Derivando em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Novamente, a função é .
Aqui, e são tratados como constantes ao derivar em relação a . Aplicamos a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
A função é .
Aqui, teremos que derivar usando a regra do produto, já que aparece multiplicando a função seno e também está no denominador dentro do seno.
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que , então:
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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