Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a
e a
separadamente. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Quando derivamos uma função logarítmica como
, a derivada é
vezes a derivada de
. Aqui,
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Como
é constante em relação a
, a derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
é 0.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Ainda temos
, e novamente usamos a regra da cadeia. Desta vez, vamos derivar em relação a
.
Aqui,
é constante em relação a
, então a derivada de
é 0, e a derivada de
em relação a
é
.
Logo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e