Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g(x, y) = ln(x + ln(y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a e a separadamente. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Quando derivamos uma função logarítmica como , a derivada é vezes a derivada de . Aqui, .
Então, aplicando a regra da cadeia:
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é 1, e a derivada de é 0.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Ainda temos , e novamente usamos a regra da cadeia. Desta vez, vamos derivar em relação a .
Aqui, é constante em relação a , então a derivada de é 0, e a derivada de em relação a é .
Logo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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