Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(k) f(x, y, z, t) = x * y * z^2 * tan(y * t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da função tangente. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos , e como constantes.
A função é .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. Precisamos aplicar a regra do produto porque aparece em dois lugares: no e dentro da tangente.
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Vamos derivar em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. A função é .
Derivando em relação a :

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a , ou seja, . Aqui, , e são constantes. Precisamos derivar a parte .
Usando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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