Encontre a solução geral da
na forma
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é a seguinte:
Queremos encontrar a solução geral dessa EDO usando uma série de potências da forma:
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las para resolver EDOs. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
em relação a
, ou seja,
e
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
Para facilitar, podemos reescrever o índice da soma mudando
para
:
Passo 4
Calculando a segunda derivada
:
Novamente, ajustamos o índice da soma:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos distribuir e reorganizar os termos.
Passo 6
Distributando
:
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas tenham
.
Passo 7
Mudar os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
- Para a segunda soma, substituímos
por :
- Para a terceira soma, substituímos
por :
Agora, reescrevemos todas as somas:
Passo 8
Para combinar as somas, ajustamos os limites:
Observe que para os termos onde
,
, então estender o limite da soma para
não altera o resultado.
Passo 9
Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero.
Passo 10
Igualando o coeficiente de cada
a zero, temos a relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 11
Fatorando o numerador:
Substituindo de volta na relação de recorrência:
Portanto, a relação de recorrência é:
Passo 12
Agora, vamos encontrar os coeficientes
usando a relação de recorrência. Precisamos de dois coeficientes iniciais, geralmente
e
.
Para
:
Para
:
Continuando dessa forma, podemos expressar os coeficientes pares e ímpares separadamente.
Passo 13
Observando o padrão, podemos separar a solução em duas partes:
- Série com termos de potência par (
) - Série com termos de potência ímpar (
)
Aplicando a relação de recorrência, temos:
Passo 14
Finalmente, substituímos os coeficientes na série original:
Simplificando, temos a solução geral em termos de séries de potências.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.