Encontre a solução geral da EDO(1-x^2) y^prime prime-6 x y^prime-4 y=0 na forma y=sumn=0^infty cn x^n com |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é a seguinte:
(1 - x^2) y'' - 6x y' - 4 y = 0
Queremos encontrar a solução geral dessa EDO usando uma série de potências da forma:
y = sumn=0^infty cn x^n com |x| < 1
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las para resolver EDOs. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y = sumn=0^infty cn x^n pode ser escrita como uma série de potências:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de em relação a , ou seja, e .

Passo 3

Calculando a primeira derivada y' = sumn=0^infty cn ddx x^n = sumn=0^infty cn n x^n-1 :
y' = sumn=1^infty cn n x^n-1 = sumn=0^infty cn+1 (n+1) x^n
Para facilitar, podemos reescrever o índice da soma mudando para :

Passo 4

Calculando a segunda derivada y'' = sumn=0^infty cn+1 (n+1) ddx x^n = sumn=0^infty cn+1 (n+1) n x^n-1 :
y'' = sumn=1^infty cn+1 (n+1) n x^n-1 = sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n
Novamente, ajustamos o índice da soma:

Passo 5

Agora, substituímos (1 - x^2) sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n - 6x sumn=0^infty cn+1 (n+1) x^n - 4 sumn=0^infty cn x^n = 0 , e na equação diferencial original:
Vamos distribuir e reorganizar os termos.

Passo 6

Distributando sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n - sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n+2 - 6 sumn=0^infty cn+1 (n+1) x^n+1 - 4 sumn=0^infty cn x^n = 0 :
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas tenham .

Passo 7

Mudar os índices das somas para que todas estejam em termos de sumn=2^infty cn n (n-1) x^n :
  1. Para a segunda soma, substituímos -6 sumn=1^infty cn n x^n por sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n - sumn=2^infty cn n (n-1) x^n - 6 sumn=1^infty cn n x^n - 4 sumn=0^infty cn x^n = 0 :
  1. Para a terceira soma, substituímos por :
Agora, reescrevemos todas as somas:

Passo 8

Para combinar as somas, ajustamos os limites:
sumn=0^infty cn+2 (n+2)(n+1) x^n - sumn=0^infty cn n (n-1) x^n - 6 sumn=0^infty cn n x^n - 4 sumn=0^infty cn x^n = 0
Observe que para os termos onde , , então estender o limite da soma para não altera o resultado.

Passo 9

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única soma:
sumn=0^infty [ cn+2 (n+2)(n+1) - cn n (n-1) - 6 cn n - 4 cn ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero.

Passo 10

Igualando o coeficiente de cada cn+2 (n+2)(n+1) - cn n (n-1) - 6 cn n - 4 cn = 0 a zero, temos a relação de recorrência:
cn+2 (n+2)(n+1) = cn [ n (n-1) + 6n + 4 ]
Simplificando:
cn+2 = cn (n^2 - n + 6n + 4)(n+2)(n+1) = cn (n^2 +5n +4)(n+2)(n+1)

Passo 11

Fatorando o numerador:
n^2 +5n +4 = (n+1)(n+4)
Substituindo de volta na relação de recorrência:
cn+2 = cn (n+1)(n+4)(n+2)(n+1) = cn (n+4)n+2
Portanto, a relação de recorrência é:
cn+2 = n+4n+2 cn

Passo 12

Agora, vamos encontrar os coeficientes c2 = 0+40+2 c0 = 2 c0 usando a relação de recorrência. Precisamos de dois coeficientes iniciais, geralmente c3 = 1+41+2 c1 = 53 c1 e .
Para :
Para :
Continuando dessa forma, podemos expressar os coeficientes pares e ímpares separadamente.

Passo 13

Observando o padrão, podemos separar a solução em duas partes:
  1. Série com termos de potência par ( c2n = 2^n c0 )
  2. Série com termos de potência ímpar ( c2n+1 = 5^n3^n c1 )
Aplicando a relação de recorrência, temos:

Passo 14

Finalmente, substituímos os coeficientes na série original:
y = sumn=0^infty c2n x^2n + sumn=0^infty c2n+1 x^2n+1 = c0 sumn=0^infty (2x^2)^n + c1 sumn=0^infty (5x3)^n x^2n
Simplificando, temos a solução geral em termos de séries de potências.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y = c0 sumn=0^infty 2^n x^2n + c1 sumn=0^infty (53)^n x^2n+1
onde e são constantes arbitrárias.

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