Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
(a) f(x, y) = x^3 * y^5 + 2 * x^4 * y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, (derivada em relação a ) e (derivada em relação a ).
Derivada parcial em relação a ( ):
Derivada parcial em relação a ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente e , mas agora em relação a e .
Derivada segunda em relação a ( ):
Derivada mista ( ):
Derivada mista ( ):
(Note que , o que é uma propriedade das derivadas mistas.)
Derivada segunda em relação a ( ):

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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