Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
(derivada em relação a
) e
(derivada em relação a
).
Derivada parcial em relação a
(
):
Derivada parcial em relação a
(
):
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente
e
, mas agora em relação a
e
.
Derivada segunda em relação a
(
):
Derivada mista (
):
Derivada mista (
):
(Note que
, o que é uma propriedade das derivadas mistas.)
Derivada segunda em relação a
(
):
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: