Faça o mapa das curvas (ou superficies) de nível das seguintes funções:
f(x, y)=x e^{y}.

Passo 1

O enunciado pede para construir o mapa das curvas de nível da função f dada por
f(x,y)=x e^{y}.
Ou seja, para cada constante real c devemos descrever o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
x e^{y}=c.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=x e^{y}.
  • O objetivo é achar, para cada c\in\mathbb{R}, a curva (ou conjunto) \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.

Passo 2

O que são curvas de nível e como encontrá-las (aula rápida e prática).
  • Definição: a curva de nível associada ao valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.
  • Método: fixar c e resolver a equação x e^{y}=c em função de x e y. Vou tratar os casos c=0 e c\neq0 separadamente, porque e^{y}>0 sempre e isso impõe restrições.

Passo 3

Resolver a equação de nível para c\neq0.
Partindo de
x e^{y}=c,
isolamos x:
x = c e^{-y}.
Esta expressão é muito conveniente porque mostra explicitamente como x varia com y para um c fixo: para cada y\in\mathbb{R} obtemos um único x. Note também que e^{-y}>0 para todo y, logo o sinal de x é o mesmo que o sinal de c. Portanto:
  • Se c>0 então toda a curva satisfaz x>0.
  • Se c<0 então toda a curva satisfaz x<0.
Uma forma alternativa, útil para esboçar, é escrever y em função de x (quando x tem o mesmo sinal que c):
y=\ln\!\left(\frac{c}{x}\right).
Aqui é preciso lembrar que o argumento do \ln deve ser positivo, por isso essa fórmula vale apenas quando c/x>0. Para evitar confusão podemos usar
y=\ln\!\left(\frac{|c|}{|x|}\right)
junto com a condição \operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}\text{(c)}.

Passo 4

Analisar o caso c=0.
A equação de nível é
x e^{y}=0.
Como e^{y}>0 para todo y, a única maneira de o produto ser zero é ter x=0. Assim a curva de nível c=0 é a reta vertical
x=0,
ou seja, o eixo y inteiro (todos os y\in\mathbb{R}).

Passo 5

Propriedades geométricas das curvas para c\neq0 (como esboçar no papel de prova).
  • Forma: cada curva é o gráfico da função x(y)=c e^{-y}. Isso é uma curva exponencial no plano xy. Para c>0 está no semiplano direito x>0; para c<0 está no semiplano esquerdo x<0.
  • Monotonicidade e inclinação: diferenciando implicitamente x e^{y}=c em relação a x (tratando y como função de x) obtemos
e^{y}+x e^{y}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}.
Portanto:
  • Se x>0 (caso c>0) então \dfrac{dy}{dx}<0: a curva decresce quando x cresce.
  • Se x<0 (caso c<0) então \dfrac{dy}{dx}>0: a curva cresce quando x cresce (no semiplano esquerdo).
  • Assíntotas e extremos:
    • Quando y\to+\infty temos e^{-y}\to0 e então x=c e^{-y}\to0. Assim as curvas tendem para a reta vertical x=0 quando y\to+\infty (pela direita se c>0, pela esquerda se c<0).
    • Quando y\to-\infty temos e^{-y}\to+\infty e então |x|\to+\infty. Não há assíntota horizontal finita.
  • Suavidade: \nabla f(x,y)=(e^{y},x e^{y})\neq(0,0) para todo (x,y), logo as curvas de nível são curvas suaves (sem cantos) e não se intersectam quando correspondem a valores diferentes de c.

Passo 6

Como esboçar rapidamente algumas curvas (passo a passo prático para a prova).
  • Escolha alguns valores de c, por exemplo c=1, c=2, c=-1, c=0.
  • Para c=1: x=e^{-y}. Alguns pontos: y=0\Rightarrow x=1; y=1\Rightarrow x=1/e; y=-1\Rightarrow x=e. A curva fica inteira no x>0, aproximando-se de x=0 quando y\to+\infty e indo para x\to+\infty quando y\to-\infty.
  • Para c=2: x=2e^{-y} é a mesma forma, deslocada/esticada em x (em y=0 tem x=2).
  • Para c=-1: x=-e^{-y} é a versão refletida no semiplano esquerdo (simétrica em relação ao eixo y somente no sinal de x).
  • Para c=0: a reta x=0.
  • Traçar várias curvas com c positivos no lado direito, várias com c negativos no lado esquerdo, e a reta x=0 no meio. Curvas com maiores |c| ficam mais afastadas do eixo y para o mesmo y.

Passo 7

Resumo final das equações das curvas de nível (forma pronta para entregar).
  • Para c=0:
\{(x,y)\mid f(x,y)=0\}=\{(x,y)\mid x=0,\; y\in\mathbb{R}\}.
  • Para c\neq0:
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}=\{(x,y)\mid x=c e^{-y},\; y\in\mathbb{R}\},
equivalente, quando conveniente, a
y=\ln\!\left(\frac{c}{x}\right)\quad\text{com a condição}\quad \operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}\text{(c)}.çã

Resposta

Para c=0: x=0.\nPara c\neq0: x=c e^{-y} (equivalente a y=\ln\!\left(\dfrac{c}{x}\right) com \operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}\text{(c)}).

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