Faça o mapa das curvas (ou superficies) de nível das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para construir o mapa das curvas de nível da função
dada por
Ou seja, para cada constante real
devemos descrever o conjunto de pontos
que satisfazem
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O objetivo é achar, para cada
, a curva (ou conjunto) .
Passo 2
O que são curvas de nível e como encontrá-las (aula rápida e prática).
- Definição: a curva de nível associada ao valor
é o conjunto de pontos tais que . - Método: fixar
e resolver a equação em função de e . Vou tratar os casos e separadamente, porque sempre e isso impõe restrições.
Passo 3
Resolver a equação de nível para
.
Partindo de
Partindo de
isolamos
:
Esta expressão é muito conveniente porque mostra explicitamente como
varia com
para um
fixo: para cada
obtemos um único
. Note também que
para todo
, logo o sinal de
é o mesmo que o sinal de
. Portanto:
- Se
então toda a curva satisfaz . - Se
então toda a curva satisfaz .
Uma forma alternativa, útil para esboçar, é escrever
em função de
(quando
tem o mesmo sinal que
):
Aqui é preciso lembrar que o argumento do
deve ser positivo, por isso essa fórmula vale apenas quando
. Para evitar confusão podemos usar
junto com a condição
.
Passo 4
Analisar o caso
.
A equação de nível é
A equação de nível é
Como
para todo
, a única maneira de o produto ser zero é ter
. Assim a curva de nível
é a reta vertical
ou seja, o eixo
inteiro (todos os
).
Passo 5
Propriedades geométricas das curvas para
(como esboçar no papel de prova).
- Forma: cada curva é o gráfico da função
. Isso é uma curva exponencial no plano . Para está no semiplano direito ; para está no semiplano esquerdo . - Monotonicidade e inclinação: diferenciando implicitamente
em relação a (tratando como função de ) obtemos
Portanto:
- Se
(caso ) então : a curva decresce quando cresce. - Se
(caso ) então : a curva cresce quando cresce (no semiplano esquerdo). - Assíntotas e extremos:
- Quando
temos e então . Assim as curvas tendem para a reta vertical quando (pela direita se , pela esquerda se ). - Quando
temos e então . Não há assíntota horizontal finita.
- Quando
- Suavidade:
para todo , logo as curvas de nível são curvas suaves (sem cantos) e não se intersectam quando correspondem a valores diferentes de .
Passo 6
Como esboçar rapidamente algumas curvas (passo a passo prático para a prova).
- Escolha alguns valores de
, por exemplo , , , . - Para
: . Alguns pontos: ; ; . A curva fica inteira no , aproximando-se de quando e indo para quando . - Para
: é a mesma forma, deslocada/esticada em (em tem ). - Para
: é a versão refletida no semiplano esquerdo (simétrica em relação ao eixo somente no sinal de ). - Para
: a reta . - Traçar várias curvas com
positivos no lado direito, várias com negativos no lado esquerdo, e a reta no meio. Curvas com maiores ficam mais afastadas do eixo para o mesmo .
Passo 7
Resumo final das equações das curvas de nível (forma pronta para entregar).
- Para
:
- Para
:
equivalente, quando conveniente, a
Resposta
Para
:
.\nPara
:
(equivalente a
com
).