Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, t)=e^sen(xt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, t) = e^sen(xt) . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como derivar funções que dependem de mais de uma variável. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é f(x, t) = e^sen(xt) . Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta e^g(x) é e^g(x) cdot g'(x) .
Aqui, g(x) = sen(xt) . Então, a derivada de g(x) em relação a x é:
g'(x) = cos(xt) cdot 1t
Portanto, juntando tudo:
partial fpartial x = e^sen(xt) cdot cos(xt) cdot 1t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a t , ou seja, partial fpartial t .
Novamente, usamos a regra da cadeia. A função continua f(x, t) = e^sen(xt) , então a derivada é:
partial fpartial t = e^sen(xt) cdot ddt(sen(xt))
Precisamos então derivar sen(xt) em relação a t . Aplicando a regra da cadeia novamente:
ddt(sen(xt)) = cos(xt) cdot (-xt^2)
Juntando tudo:
partial fpartial t = e^sen(xt) cdot cos(xt) cdot (-xt^2)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, t) = e^sen(xt) são:
partial fpartial x = e^sen(xt) cdot cos(xt)t
e
partial fpartial t = -x cdot e^sen(xt) cdot cos(xt)t^2

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