Seja S a parte da superfície cilíndrica z^2+x^2=1 que se encontra dentro do cone z=raizx^2+y^2, z >= 0.
Calcule a área de S;

Passo 1

Resumindo, queremos a área da parte S do cilindro
x^2+z^2=1
cujo eixo é o eixo y, que fica “dentro” do cone
z=raizx^2+y^2, z>=0
O conteúdo é integral de superfície e vamos precisar parametrizar o cilindro, impor a desigualdade do cone e calcular a área via integral dupla dS.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 1 por
x=costheta, z=sintheta, y=y,
com theta variando de 0 a 2pi e yinR. O vetor página é
r(theta,y)=(costheta,;y,;sintheta)
O elemento de área do cilindro é
dS=l|partialtheta rtimespartialy rr|,dtheta,dy =1cdot dtheta,dy,
pois partialtheta r e partialy r são ortogonais e de norma 1.

Passo 3

A condição “dentro do cone” é
z>=raizx^2+y^2 ;Longrightarrow; sintheta>=raizcos^2theta+y^2
Elevando ao quadrado e isolando y
y^2<=sin^2theta-cos^2theta =-cos(2theta)
Para que o lado direito seja não negativo, precisamos cos(2theta)<=0, ou seja thetain[tfracpi4,tfrac3pi4].

Passo 4

Para cada thetain[tfracpi4,tfrac3pi4], y varia em
-raiz-cos(2theta);<=;y;<=;raiz-cos(2theta)
Logo a área é
integral duplaSdS =integraltheta=pi/4^3pi/4integraly=-raiz-cos(2theta)^raiz-cos(2theta)1,dy,dtheta =2integralpi/4^3pi/4raiz-cos(2theta),dtheta

Passo 5

Fazemos a troca de variável alpha=2theta, de modo que quando theta vai de pi/4 a 3pi/4, alpha vai de pi/2 a 3pi/2, e dtheta=dalpha/2. Então
Área =2integralpi/4^3pi/4raiz-cos(2theta),dtheta =integralpi/2^3pi/2raiz-cosalpha,dalpha Á
Fazendo a nova troca beta=alpha-pi, o intervalo [pi/2,3pi/2] vira [-pi/2,pi/2] e -cosalpha=cosbeta, logo
Área =integral-pi/2^pi/2raizcosbeta,dbeta =2integral0^pi/2cos^1/2beta,dbeta Á

Passo 6

Utilizamos a fórmula do integral de potência de cosseno:
integral0^pi/2cos^m-1x,dx =raizpi,Gammal(tfrac m2r)2,Gammal(tfracm+12r)
Aqui m-1=tfrac12, ou seja m=tfrac32. Então
integral0^pi/2cos^1/2beta,dbeta =raizpi,Gammal(tfrac34r)2,Gammal(tfrac54r)
Multiplicando por 2, obtemos a área final.

Resposta

Área(S) =2integral0^pi/2cos^1/2beta,dbeta =raizpi,Gammal(tfrac34r)Gammal(tfrac54r) Á

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