Seja
a parte da superfície cilíndrica
que se encontra dentro do cone
,
.
Calcule a área de
;
Calcule a área de
Passo 1
Resumindo, queremos a área da parte
do cilindro
cujo eixo é o eixo
, que fica “dentro” do cone
O conteúdo é integral de superfície e vamos precisar parametrizar o cilindro, impor a desigualdade do cone e calcular a área via
.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro de raio 1 por
com
variando de
a
e
. O vetor página é
O elemento de área do cilindro é
pois
partialtheta r e
partialy r são ortogonais e de norma 1.
Passo 3
A condição “dentro do cone” é
Elevando ao quadrado e isolando
y dá
Para que o lado direito seja não negativo, precisamos
cos(2theta)<=0 , ou seja
thetain[tfracpi4,tfrac3pi4] .
Passo 4
Para cada
thetain[tfracpi4,tfrac3pi4] ,
y varia em
Logo a área é
Passo 5
Fazemos a troca de variável
alpha=2theta , de modo que quando
theta vai de
pi/4 a
3pi/4 ,
alpha vai de
pi/2 a
3pi/2 , e
dtheta=dalpha/2 . Então
Fazendo a nova troca
beta=alpha-pi , o intervalo
[pi/2,3pi/2] vira
[-pi/2,pi/2] e
-cosalpha=cosbeta , logo
Passo 6
Utilizamos a fórmula do integral de potência de cosseno:
Aqui
m-1=tfrac12 , ou seja
m=tfrac32 . Então
Multiplicando por 2, obtemos a área final.