Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x e^3 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x e^3y . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, onde a gente calcula como a função muda em relação a uma variável de cada vez, mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e entender o que são derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que a gente chama de partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .
A função é f(x, y) = x e^3y . Aqui, e^3y é uma constante em relação a x , então a derivada de x por x é 1. Assim:
partial fpartial x = e^3y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Desta vez, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .
A função é f(x, y) = x e^3y . Sabemos que a derivada de e^3y em relação a y é 3 e^3y , usando a regra da cadeia. Então multiplicamos isso por x , que é constante:
partial fpartial y = x cdot 3 e^3y = 3x e^3y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = e^3y
e
partial fpartial y = 3x e^3y

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