Determine as derivadas parciais de primeira ordem para as funções abaixo:
f(x, y)=integraly^x cos (t)^2 d t

Passo 1

Então, a questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = integraly^x cos(t)^2 , dt . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas parciais e integrais definidas que dependem de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar integrais que têm limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela nos mostra como a função muda em relação a uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis: x e y . Precisamos encontrar partial fpartial x e partial fpartial y .

Passo 3

Vamos começar encontrando partial fpartial x . Quando derivamos uma integral em relação ao seu limite superior, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso nos diz que:
partialpartial x ( integraly^x cos(t)^2 , dt ) = cos(x)^2
Então, a derivada parcial de f em relação a x é simplesmente cos(x)^2 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial fpartial y . Neste caso, estamos derivando em relação ao limite inferior da integral. O Teorema Fundamental do Cálculo também se aplica, mas com um sinal negativo:
partialpartial y ( integraly^x cos(t)^2 , dt ) = -cos(y)^2
Portanto, a derivada parcial de f em relação a y é -cos(y)^2 .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) são:
partial fpartial x = cos(x)^2 e partial fpartial y = -cos(y)^2

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