Determine as derivadas parciais de primeira ordem para as funções abaixo:
Passo 1
Então, a questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas parciais e integrais definidas que dependem de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar integrais que têm limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Ela nos mostra como a função muda em relação a uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. No nosso caso, temos duas variáveis:
e
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Quando derivamos uma integral em relação ao seu limite superior, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso nos diz que:
Então, a derivada parcial de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Neste caso, estamos derivando em relação ao limite inferior da integral. O Teorema Fundamental do Cálculo também se aplica, mas com um sinal negativo:
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: