Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=sen^2(2 x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = sin^2(2x + 3y) . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, usando a regra da cadeia e regras de derivação para funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, fx e fy .
A função é f(x, y) = sin^2(2x + 3y) . Vamos usar a regra da cadeia aqui.
Derivando em relação a x :
fx = 2 sin(2x + 3y) cdot cos(2x + 3y) cdot 2 = 4 sin(2x + 3y) cos(2x + 3y)
Simplificando usando a identidade 2sin(a)cos(a) = sin(2a) :
fx = 2 sin(4x + 6y)

Passo 3

Agora, derivamos fx em relação a x novamente para obter fxx :
fxx = 2 cdot cos(4x + 6y) cdot 4 = 8 cos(4x + 6y)

Passo 4

Vamos agora encontrar fy , a derivada parcial de f em relação a y :
fy = 2 sin(2x + 3y) cdot cos(2x + 3y) cdot 3 = 6 sin(2x + 3y) cos(2x + 3y)
Usando a mesma identidade trigonométrica:
fy = 3 sin(4x + 6y)

Passo 5

Derivando fy em relação a y para obter fyy :
fyy = 3 cdot cos(4x + 6y) cdot 6 = 18 cos(4x + 6y)

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas fxy e fyx . Vamos derivar fx em relação a y e fy em relação a x .
Derivando fx = 2 sin(4x + 6y) em relação a y :
fxy = 2 cdot cos(4x + 6y) cdot 6 = 12 cos(4x + 6y)
Derivando fy = 3 sin(4x + 6y) em relação a x :
fyx = 3 cdot cos(4x + 6y) cdot 4 = 12 cos(4x + 6y)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx = 8 cos(4x + 6y)
fyy = 18 cos(4x + 6y)
fxy = fyx = 12 cos(4x + 6y)

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