Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, usando a regra da cadeia e regras de derivação para funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
A função é
. Vamos usar a regra da cadeia aqui.
Derivando em relação a
:
Simplificando usando a identidade
:
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
novamente para obter
:
Passo 4
Vamos agora encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a mesma identidade trigonométrica:
Passo 5
Derivando
em relação a
para obter
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas
e
. Vamos derivar
em relação a
e
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: