Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=cos (x y)+3 x y^2-6 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=cos(xy)+3,x,y^2-6,x^2y
O conteúdo utilizado será:
  • derivada parcial (mantendo a outra variável fixa),
  • regra da cadeia para cos(xy),
  • regra do produto para termos como x,y^2 e x^2y.

Passo 2

Calcular fx=partial fpartial x.
Para cos(xy) fixa-se y e aplica-se regra da cadeia:
partialpartial xcos(xy) =-sin(xy),partialpartial x(xy) =-sin(xy),y
Para 3xy^2:
partialpartial x(3x,y^2)=3,y^2
Para -6x^2y:
partialpartial x(-6x^2y)=-12,x,y
Somando,
fx(x,y)=-y,sin(xy)+3,y^2-12,x,y

Passo 3

Calcular fy=partial fpartial y.
Para cos(xy) fixa-se x e usa-se regra da cadeia:
partialpartial ycos(xy) =-sin(xy),partialpartial y(xy) =-sin(xy),x
Para 3x,y^2:
partialpartial y(3x,y^2)=6,x,y
Para -6x^2y:
partialpartial y(-6x^2y)=-6,x^2
Logo,
fy(x,y)=-x,sin(xy)+6,x,y-6,x^2

Passo 4

Calcular fxx=partialpartial x(fx).
Temos
fx(x,y)=-y,sin(xy)+3y^2-12xy
Derivando em x:
- Para -y,\sin(xy):
-ycdotcos(xy),partialpartial x(xy) =-ycos(xy),y=-y^2cos(xy)
- Para 3y^{2}: derivada nula.
- Para -12x,y:
partialpartial x(-12x,y)=-12y
Portanto,
fxx(x,y)=-y^2cos(xy)-12,y

Passo 5

Calcular fxy=partialpartial y(fx).
Partindo de
fx(x,y)=-y,sin(xy)+3y^2-12xy,
derivando em y:
- Para -y,\sin(xy), regra do produto:
partialpartial y[-y,sin(xy)] =-sin(xy)-ycos(xy),partialpartial y(xy) =-sin(xy)-x,ycos(xy)
- Para 3y^{2}:
partialpartial y(3y^2)=6y
- Para -12x,y:
partialpartial y(-12x,y)=-12x
Somando,
fxy(x,y)=-sin(xy)-x,ycos(xy)+6y-12x

Passo 6

Calcular fyy=partialpartial y(fy).
Partindo de
fy(x,y)=-x,sin(xy)+6xy-6x^2,
derivando em y:
- Para -x,\sin(xy):
-xcdotcos(xy),partialpartial y(xy) =-xcos(xy),x=-x^2cos(xy)
- Para 6x,y:
partialpartial y(6x,y)=6x
- Para -6x^{2}: derivada nula.
Logo,
fyy(x,y)=-x^2cos(xy)+6x

Passo 7

Pela continuidade e pelas condições do teorema de Schwarz, vale a igualdade das mistas:
fyx(x,y)=fxy(x,y)

Resposta

fxx(x,y)=-y^2cos(xy)-12y,
fxy(x,y)=fyx(x,y)=-sin(xy)-x,ycos(xy)+6y-12x,
fyy(x,y)=-x^2cos(xy)+6x

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