Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem de
O conteúdo utilizado será:
- derivada parcial (mantendo a outra variável fixa),
- regra da cadeia para
, - regra do produto para termos como
e .
Passo 2
Calcular
.
Para fixa-se
e aplica-se regra da cadeia:
Para
Para
:
Para
:
Somando,
Passo 3
Calcular
.
Para fixa-se
e usa-se regra da cadeia:
Para
Para
:
Para
:
Logo,
Passo 4
Calcular
.
Temos
Temos
Derivando em
:
- Para -y,\sin(xy):
- Para -y,\sin(xy):
- Para 3y^{2}: derivada nula.
- Para -12x,y:
- Para -12x,y:
Portanto,
Passo 5
Calcular
.
Partindo de
Partindo de
derivando em
:
- Para -y,\sin(xy), regra do produto:
- Para -y,\sin(xy), regra do produto:
- Para 3y^{2}:
- Para -12x,y:
Somando,
Passo 6
Calcular
.
Partindo de
Partindo de
derivando em
:
- Para -x,\sin(xy):
- Para -x,\sin(xy):
- Para 6x,y:
- Para -6x^{2}: derivada nula.
Logo,
Logo,
Passo 7
Pela continuidade e pelas condições do teorema de Schwarz, vale a igualdade das mistas: