Nos problemas abaixo, determine se a equação diferencial dada é separável:
\frac{d y}{d x}=\frac{y e{x+y}}{x{2}+2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx=y,e^x+yx^2+2
e pergunta se ela é separável, ou seja, se conseguimos escrevê-la na forma
f(y),dy = g(x),dx

Passo 2

Primeiro note que
e^x+y=e^x,e^y
Substituindo na equação original, obtemos
dydx=y,e^x,e^yx^2+2

Passo 3

Agora basta reorganizar para agrupar y com dy e x com dx. Dividindo ambos os lados por y,e^y e multiplicando por dx, fica
1y,e^y,dy = e^xx^2+2,dx,
o que é exatamente a forma de separação de variáveis.

Passo 4

Como conseguimos escrever a equação na forma f(y),dy = g(x),dx, concluímos que ela é separável.

Resposta

A equação diferencial é separável.

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