Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y)=5 x^{4} y^{2}+x y^{3}+4

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y) = 5x^{4}y^{2} + xy^{3} + 4.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial: ao calcular \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante; ao calcular \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante. Vamos usar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Para encontrar \frac{\partial f}{\partial x}, derivamos cada termo em relação a x mantendo y fixo:
  • De 5x^{4}y^{2} vem 5\cdot 4x^{3}y^{2}=20x^{3}y^{2}.
  • De xy^{3} vem y^{3}.
  • De 4 vem 0.
    Somando,
\frac{\partial f}{\partial x} = 20x^{3}y^{2} + y^{3}.

Passo 3

Para encontrar \frac{\partial f}{\partial y}, derivamos cada termo em relação a y mantendo x fixo:
  • De 5x^{4}y^{2} vem 5x^{4}\cdot 2y = 10x^{4}y.
  • De xy^{3} vem x\cdot 3y^{2} = 3xy^{2}.
  • De 4 vem 0.
    Somando,
\frac{\partial f}{\partial y} = 10x^{4}y + 3xy^{2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 20x^{3}y^{2} + y^{3}
\frac{\partial f}{\partial y} = 10x^{4}y + 3xy^{2}

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