Esboce os gráficos e algumas curvas de nível das seguintes funções:
f(x, y)=e^{-y}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dado por
f(x,y)=e^{-y}
e suas curvas de nível. O conteúdo é visualização de superfícies em \mathbb{R}^3 e identificação de curvas de nível (níveis de mesmo valor de função).

Passo 2

Identificamos o domínio e a imagem de f. Como a exponencial está bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2. Como e^{-y}>0 para todo y, \mathrm{Im}(f)=(0,\infty).

Passo 3

Para esboçar o gráfico em \mathbb{R}^3, note que f não depende de x. Assim, para cada valor fixo de y a seção em um plano paralelo ao eixo x é uma reta horizontal em z=e^{-y}. Variando y, temos:
  • Para y\to+\infty, e^{-y}\to0, o “muro” da superfície se aproxima do plano z=0.
  • Para y\to-\infty, e^{-y}\to+\infty, a superfície cresce sem limite.
    No eixo x ela é constante, gerando uma parede que decai exponencialmente conforme y aumenta.

Passo 4

As curvas de nível de f são dadas por
f(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad e^{-y}=k \quad\Longrightarrow\quad y=-\ln(k),
onde k>0. Ou seja, cada nível k corresponde a uma reta horizontal no plano xy em
y=-\ln(k).

Passo 5

Para exemplificar escolhemos alguns valores de k:
k=1 y=-\ln(1)=0.
k=e y=-\ln(e)=-1.
k=\tfrac{1}{e} y=-\ln(1/e)=1.
No esboço, traçamos essas retas horizontais e associamos a cada uma o valor de z=k.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=e^{-y} é uma superfície constante ao longo de x que decai exponencialmente quando y cresce, aproximando-se de z=0 e subindo sem limites para y\to-\infty.
As curvas de nível são retas horizontais no plano xy de equação
y=-\ln(k),\quad k>0,
por exemplo: y=0 para k=1, y=-1 para k=e e y=1 para k=\tfrac{1}{e}.

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