Esboce os gráficos e algumas curvas de nível das seguintes funções:
f(x, y)=\cos (x), \quad y \geq 0, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede esboçar o gráfico de superfície e algumas curvas de nível da função
f(x,y)=\cos(x),
com domínio dado por 0\le x\le2\pi e y\ge0.
O conteúdo é entendimento de gráfico de função de duas variáveis e curva de nível.

Passo 2

Para esboçar o gráfico note que \cos(x) não depende de y. Em cada valor de x o valor de z=f(x,y) é sempre \cos(x). Logo o gráfico é a curva z=\cos(x) no plano xz “esticada” ao longo do eixo y.
No plano xz para 0\le x\le2\pi temos uma onda que começa em z=1 em x=0, desce a -1 em x=\pi e volta a 1 em x=2\pi. Ao extrudir isso em direção positiva de y, formamos uma superfície de “ripples” paralelos ao eixo y.

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
\cos(x)=c,\quad c\in[-1,1].
Para cada c fixo temos
x=\operatorname{arccos}\text{(c)} \quad\text{ou}\quad x=2\pi-\operatorname{arccos}\text{(c)},
e y\ge0 livre. No plano xy essas são duas retas verticais (paralelas ao eixo y) em x constante. Por exemplo:
c =1 em x=0,2\pi;
c =0 em x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2};
c=-1 em x=\pi.
Restrições do domínio: sobre cada reta de nível temos apenas o semieixo y\ge0. Na prática, ao desenhar, marque as retas verticais entre y=0 e um valor alto de y, e identifique cada reta com o valor c.

Resposta

O gráfico de superfície é a curva de cosseno em xz estendida paralelamente ao eixo y.
As curvas de nível são retas verticais em
x=\operatorname{arccos}\text{(c)} \quad\text{e}\quad x=2\pi-\operatorname{arccos}\text{(c)}
para cada c\in[-1,1], limitadas a y\ge0.

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